1. 为什么要这样定义点积？

1.1 面临的问题

在高中课本里，点积有两种定义方式：

代数定义： $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ （坐标相乘相加）
几何定义： $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ$ （模长乘夹角余弦）

课本通常先给几何定义（投影的直观），再证明等于代数形式。但这留下一个疑问：为什么偏偏是 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ 这个形式？ 为什么不是 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ （这是叉积）或者 $x_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ 之类的？

所以我们换一种思路：假设我们只知道向量的坐标表示和线性运算（加法和数乘），能不能仅从一些基本的代数规则，推导出那个"乘法"必须是 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ ？

1.2 基本思路

假设我们要设计一种"向量乘法"（两个向量乘出来得到一个数），它必须满足两条直觉上合理的要求。然后我们会发现：为了满足这两条要求，这个乘法只能是我们熟悉的 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ 这种形式。

2. 两条基本规则（公理）

设 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 是平面上的任意两个向量，我们要找的"向量乘法"记作 $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ，满足：

2.1 公理一：线性性（分配律要像数字乘法一样）

就像数字满足 $a (b + c) = a b + a c$ 一样，这种向量乘法也要满足：

对第一个向量分配： $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$
对第二个向量分配： $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
数乘可以提出来： $(k \vec{a}) \cdot \vec{b} = k (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k \vec{b})$

直观理解：如果力 $\vec{F}$ 分解成 ${\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2}$ ，那么做功 $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$ 应该等于两份功之和。

2.2 公理二：只看相对位置（旋转翻转不变）

无论你把整个坐标系旋转多少度，或者镜像翻转，只要两个向量的相对位置关系（夹角、长度比例）没变，算出来的结果就应该一样。

直观理解：在太空中做物理实验，不管你朝向哪个方向，力和位移的"作用效果"应该是一样的，这就是宇宙空间的对称性。

3. 推导出点积的公式

3.1 用基底表示向量

在平面上选两个特殊的向量作为基底：

$\vec{i}$ ：指向 $x$ 轴正方向，长度为 1
$\vec{j}$ ：指向 $y$ 轴正方向，长度为 1，且与 $\vec{i}$ 垂直

那么任意向量都可以写成：

$\vec{u} = x_{1} \vec{i} + y_{1} \vec{j}$ （图中黄色向量）
$\vec{v} = x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j}$ （图中蓝色向量）

3.2 展开点积

根据规则一（分配律），我们可以像展开 $(a + b) (c + d)$ 一样展开：

\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} & = (x_{1} x_{2}) (\vec{i} \cdot \vec{i}) + (y_{1} x_{2}) (\vec{j} \cdot \vec{i}) + (x_{1} y_{2}) (\vec{i} \cdot \vec{j}) + (y_{1} y_{2}) (\vec{j} \cdot \vec{j}) \\ = x_{1} x_{2} \underset{同类}{\underset{⏟}{(\vec{i} \cdot \vec{i})}} + y_{1} y_{2} \underset{同类}{\underset{⏟}{(\vec{j} \cdot \vec{j})}} + y_{1} x_{2} \underset{交叉}{\underset{⏟}{(\vec{j} \cdot \vec{i})}} + x_{1} y_{2} \underset{交叉}{\underset{⏟}{(\vec{i} \cdot \vec{j})}} \end{aligned}

注意到 $x_{1} x_{2}, y_{1} y_{2}, y_{1} x_{2}, x_{1} y_{2}$ 只是普通的标量系数。现在问题的核心转化为确定基向量之间的内积：

1. 同类项（相同基向量）的内积： $(\vec{i} \cdot \vec{i})$ 和 $(\vec{j} \cdot \vec{j})$

2. 交叉项（正交基向量）的内积： $(\vec{i} \cdot \vec{j})$ 和 $(\vec{j} \cdot \vec{i})$ （由对称性知 $\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{i}$ ）

3.3 确定基底之间的关系

3.3.1 相同基底相乘

因为 $\vec{i}$ 长度是 1，我们约定：向量与自身的内积等于其长度的平方（这样最自然），即 $\vec{v} \cdot \vec{v} := | \vec{v} |^{2}$ 。（注：":=" 是“定义为”的意思.）

所以：

\vec{i} \cdot \vec{i} = | \vec{i} |^{2} = 1^{2} = 1

同理：

\vec{j} \cdot \vec{j} = 1

解释：事实上，我们完全可以定义同向基底的内积为任意正实数（即 $\vec{e_{i}} \cdot \vec{e_{i}} = t$ ，其中 $t > 0$ ），这仍然满足内积公理（正定性、对称性、线性性），因此是合法的。

这里涉及到内积的两条关键性质：

正定性：任何非零向量与自身的内积必须为正数（即 $\vec{v} \cdot \vec{v} > 0$ ，且仅当 $\vec{v} = \vec{0}$ 时等于0。）这意味着 $t$ 不能为负数或零，否则 $\vec{e_{i}} \cdot \vec{e_{i}} = t \leq 0$ 会违反"长度平方必须为正"的几何直觉。
对称性： $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ ，即交换两个向量的顺序，结果不变。这保证了"甲相对于乙的角度"与"乙相对于甲的角度"是一致的。

如果这样定义（ $\vec{e_{i}} \cdot \vec{e_{i}} = t$ ），最终的点积公式就会变成 $\vec{u} \cdot \vec{v} = t (x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})$ 。虽然这依然是一个有效的内积，但每次计算都要多乘一个 $t$ ，就像用"厘米"代替"米"做单位一样，会让公式显得累赘。

因此，为了最简洁的表达，我们人为约定 $t = 1$ （这叫归一化），就像选择"1米"作为长度单位一样自然。既然 $\vec{i}$ 的长度是 1，那么它"自己乘自己"的结果就约定为 $1 \times 1 = 1$ 。

3.3.2 垂直（正交）基底相乘（关键！）

现在来确定 $\vec{i} \cdot \vec{j}$ 等于多少。

利用规则二（反射对称性）：

$\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 是垂直的
把 $\vec{j}$ 反向变成 $- \vec{j}$ ，它仍然和 $\vec{i}$ 垂直（方向不影响垂直关系）

因为"垂直"这种相对关系没变，根据规则二，内积结果应该不变：

\vec{i} \cdot (- \vec{j}) = \vec{i} \cdot \vec{j}

利用规则一（线性性）：

\vec{i} \cdot (- \vec{j}) = - (\vec{i} \cdot \vec{j})

联立：设 $p = \vec{i} \cdot \vec{j}$ ，则 $p = - p$ ，所以：

p = 0

即：垂直的向量，点积一定是 0。

事实上，任意两个垂直（正交）的向量，其点积都满足这一结论。如下图所示，当 $\vec{v_{1}}$ 与 $\vec{u}$ 垂直时，将 $\vec{v_{1}}$ 反向得到 $- \vec{v_{1}} = \vec{v_{2}}$ ，由于垂直关系在这种变换下保持不变，两种构型的内积值必须相等。

假设 $\vec{u} \cdot \vec{v_{1}} = \vec{p}$ ，且 $\vec{u} \cdot (- \vec{v_{1}}) = \vec{u} \cdot \vec{v_{1}}$ ，

易得 $\vec{u} \cdot (- \vec{v_{1}}) = \vec{u} \cdot \vec{v_{1}} = \vec{p} = - \vec{p}$ ,

所以 $p = - p = 0$ .

内积推导2

解释：这就是为什么正交向量的点积为零，是因为空间具有反射对称性（镜像翻转后垂直关系不变）和线性性共同导致的必然结果！

物理意义：力和位移正交时不做功也是一个推论，本质原因是

3.4 得到最终公式

把 3.3.1 和 3.3.2 的结果代入 3.2 的展开式：

\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} & = x_{1} x_{2} (\vec{i} \cdot \vec{i}) + y_{1} x_{2} (\vec{j} \cdot \vec{i}) + x_{1} y_{2} (\vec{i} \cdot \vec{j}) + y_{1} y_{2} (\vec{j} \cdot \vec{j}) \\ = x_{1} x_{2} \times 1 + y_{1} y_{2} \times 1 + y_{1} x_{2} \times 0 + x_{1} y_{2} \times 0 \\ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} \end{aligned}

整理得：

\vec{u} \cdot \vec{v} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

4. 结论

我们证明了：如果一个向量乘法要同时满足"分配律"和"旋转对称性"，那它只能是坐标对应相乘再相加的形式。

这就解释了为什么课本上定义 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ —— 这不是随便规定的，而是唯一能满足我们基本要求的"独木桥"。

从 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ 这个简洁的公式，我们可以进一步推出：

点积等于 $| \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ$ （几何意义）
如果点积为 0，则两向量垂直（正交判定）
柯西不等式等性质

这种从基本规则出发推导公式的思想，就是数学中的"公理化方法"，也是现代物理（相对论、量子力学）的基础。

1. 为什么要这样定义点积？ ​

1.1 面临的问题 ​

1.2 基本思路 ​

2. 两条基本规则（公理） ​

2.1 公理一：线性性（分配律要像数字乘法一样） ​

2.2 公理二：只看相对位置（旋转翻转不变） ​

3. 推导出点积的公式 ​

3.1 用基底表示向量 ​

3.2 展开点积 ​

3.3 确定基底之间的关系 ​

3.3.1 相同基底相乘 ​

3.3.2 垂直（正交）基底相乘（关键！） ​

3.4 得到最终公式 ​

4. 结论 ​