第十二章 电能 能量守恒定律

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章前导学与思维脉络

【来龙去脉】从部分电路到闭合电路

在必修第三册的第十一章中，我们学习了恒定电流的基础知识，研究了电流、电压、电阻的关系，掌握了部分电路欧姆定律 (I = \frac{U}{R})。所谓"部分电路"，指的是电源之外的外电路。在那一章的框架下，电源仅仅被抽象为一个"提供恒定电压的装置"，电源本身没有能量损耗，也没有内阻。

但在实际电路中，电源（如电池、发电机）本身存在内阻。电流流过电源内部时，电源内部也会发热、消耗能量。因此，电源提供的总电压（电动势 (E)）并不等于外电路两端的实际电压（路端电压 (U)），而是分配给了外电路和内电路两部分：

$$E=U_{\text{外}}+U_{\text{内}}$$

这就是从"部分电路"走向"闭合电路"的关键一步——把电源也纳入研究对象，把整个回路看成一个能量守恒的系统。

本章核心问题链

1. 电流通过用电器时，电能转化为什么形式的能？转化了多少？
2. 电源为什么有内阻？电动势和路端电压有何本质区别？
3. 如何用能量守恒的观点推导闭合电路欧姆定律？
4. 怎样通过实验精确测量电池的电动势和内阻？误差从何而来？
5. 能量守恒定律在电路中如何体现？能源利用与可持续发展有何物理内涵？

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12.1 电路中的能量转化

一、电功（W）——电流做的总功

当电荷在电场力作用下定向移动时，电场力对电荷做功，这个功称为电功。

设导体两端电压为 (U)，通过的电流为 (I)，通电时间为 (t)，则通过的电荷量为 (q = It)。电场力做的功为：

$$W=qU=UIt$$

物理意义：电功表示电流在电路中做的总功，也就是电路消耗的总电能。无论电路中包含什么元件（电阻、电动机、电解槽、灯泡等），这个公式都成立。

单位：焦耳（J），常用还有千瓦时（kW·h），(1 \text{ kW·h} = 3.6 \times 10^6 \text{ J})。

二、电热（Q）——焦耳定律

电流通过导体时，由于自由电子与晶格离子的碰撞，电能转化为内能（热能），这个现象叫电流的热效应。

英国物理学家焦耳通过实验发现：电流通过导体产生的热量 (Q) 与电流的平方成正比，与导体的电阻成正比，与通电时间成正比：

$$Q=I^{2}Rt$$

物理意义：电热表示电流通过电阻时，因发热而转化为内能的那部分电能。

三、电功率与热功率

物理量	定义式	适用条件
电功率（总功率）	(P = UI)	任何电路
热功率	(P_{\text{热}} = I^2 R)	任何电路
纯电阻电路功率	(P = \frac{U^2}{R} = I^2 R = UI)	纯电阻电路

四、纯电阻电路与非纯电阻电路

【基础精讲】两类电路的本质区别

纯电阻电路：电路中只有电阻元件（或主要转化为内能的元件），电能全部转化为内能。

• 实例：电炉、电饭锅、白炽灯（灯丝）、电热水器
• 特点：(W = Q)，即 (UIt = I^2 Rt)
• 推论：(U = IR)，欧姆定律成立，(P = UI = I^2 R = \frac{U^2}{R})

非纯电阻电路：电路中含有电动机、电解槽、充电电池等，电能部分转化为内能，部分转化为其他形式的能（机械能、化学能等）。

• 实例：电动机、电风扇、电解槽、正在充电的蓄电池、日光灯（含镇流器）
• 特点：(W > Q)，即 (UIt > I^2 Rt)
• 关键公式：电能 = 内能 + 其他形式能量

$$W=Q+E_{\text{其他}}$$

即

$$UIt=I^{2}Rt+E_{\text{其他}}$$

【隐性考点】电动机问题

电动机是最典型的非纯电阻用电器。设电动机线圈电阻为 (r_M)，两端电压为 (U)，电流为 (I)。

• 总电功率（输入功率）：(P_{\text{入}} = UI)
• 热功率（线圈发热）：(P_{\text{热}} = I^2 r_M)
• 输出机械功率：(P_{\text{出}} = UI - I^2 r_M)

核心不等式：

$$UI>I^2{r}_M\text{或}U>I{r}_M$$

⚠️ 在非纯电阻电路中，欧姆定律不成立！不能对电动机整体用 (R = \frac{U}{I}) 来求线圈电阻。线圈的电阻 (r_M) 需由其他方式给出（如题目已知、或用欧姆表测量），而不能通过 (U/I) 计算。

【易错警示】

1. 电功和电热是两个不同的概念：电功 (W = UIt) 描述的是电能的总消耗；电热 (Q = I^2 Rt) 描述的是其中转化为内能的部分。只有在纯电阻电路中二者才相等。

2. 非纯电阻电路中不能乱用欧姆定律变形式：如 (P = \frac{U^2}{R}) 在非纯电阻电路中对整个用电器不成立，只能对发热的电阻部分用。

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12.2 闭合电路的欧姆定律

一、电源的电动势（E）

定义：电动势表示电源将其他形式的能转化为电能的本领，数值上等于电源没有接入外电路时两极间的电压，也等于接入电路后内、外电压之和。

理解要点：

• 电动势由电源本身的性质决定（如电池材料、结构），与外电路无关
• 电动势不是电压，但单位也是伏特（V）
• 从能量角度看：非静电力移送单位正电荷所做的功

$$E=\frac{W_{\text{非}}}{q}$$

二、为什么电源有内阻？

实际电源（化学电池、发电机）内部由导体材料构成（如电池内部的电解液、电极）。当电流流过电源内部时，这些材料对电流有阻碍作用，这就是电源内阻（记为 (r)）。

• 电源内阻 (r) 与外电阻 (R) 串联在回路中
• 电流流过内阻时也会产生焦耳热，消耗一部分电能
• 内阻使得电源输出的路端电压 (U) 小于电动势 (E)

三、闭合电路欧姆定律的推导

【基础精讲】能量守恒法推导

考虑一个简单闭合电路：电动势为 (E)、内阻为 (r) 的电源，外接电阻 (R)。电路中电流为 (I)。

在极短时间 (t) 内，电源通过非静电力做功，将其他形式的能转化为电能，总量为：

$$W_{\text{总}}=EIt$$

这些电能分配到外电路和内电路两个部分：

• 外电路：电流流过外电阻 (R)，电能转化为内能（也可能有其他形式能量，这里先讨论纯电阻外电路）

$$W_{\text{外}}=I^{2}Rt=U_{\text{外}}It$$

• 内电路：电流流过电源内阻 (r)，电能转化为内能

$$W_{\text{内}}=I^{2}rt=U_{\text{内}}It$$

根据能量守恒定律：

$$W_{\text{总}}=W_{\text{外}}+W_{\text{内}}$$

即

$$EIt=I^{2}Rt+I^{2}rt$$

两边约去 (It)：

$$E=IR+Ir=I(R+r)$$

得到闭合电路欧姆定律：

$$I=\frac{E}{R+r}$$

以及电压关系：

$$E=U_{\text{外}}+U_{\text{内}}=U+Ir$$

四、路端电压（U）与负载（R）的关系

路端电压（外电压）：电源两极间实际输出的电压，即外电路两端的电压。

$$U=E-Ir=\frac{R}{R+r}E$$

两种情况

电路状态	外电阻	电流	路端电压	能量特征
开路（断路）	(R \to \infty)	(I = 0)	(U = E)	无电流，内阻不分压
短路	(R = 0)	(I_{\text{短}} = \frac{E}{r})	(U = 0)	电流极大，全部能量消耗在内阻上

重要结论：只有当外电路开路（或电源为理想电源 (r = 0)）时，路端电压才等于电动势。正常工作时，(U < E)。

【易错警示】

• 电动势 (E \neq) 路端电压 (U)！除非开路或理想电源。
• 电源短路时 (I_{\text{短}} = \frac{E}{r})，由于 (r) 通常很小，短路电流极大，会烧毁电源。

五、U-I 图像的物理意义

【深度理解】电源的 U-I 图线

由 (U = E - Ir) 可知，路端电压 (U) 与总电流 (I) 成一次函数关系。

以 (I) 为横轴、(U) 为纵轴建立坐标系，图像为一条斜向下方的直线：

• 纵截距（(I = 0) 时）：(U = E) → 表示电源的电动势
• 横截距（(U = 0) 时）：(I = \frac{E}{r} = I_{\text{短}}) → 表示短路电流
• 斜率：(k = -r)（斜率的绝对值等于电源的内阻）

$$\text{斜率}=\frac{\mathrm{\Delta }U}{\mathrm{\Delta }I}=-r$$

电源U-I图线与电阻U-I图线的交点

【隐性考点】交点的物理意义

在同一个 U-I 坐标系中画出：

• 电源的 U-I 图线：(U = E - Ir)（斜向下，纵截距为 (E)，斜率绝对值为 (r)）
• 电阻的 U-I 图线：(U = IR)（过原点，斜率为 (R)）

两条图线的交点 ((I_0, U_0)) 表示：将该电阻直接接在该电源两端时，电路中的实际工作电流和路端电压。

交点坐标满足：

$$U_0=I_{0}R=E-I_{0}r$$

这正是闭合电路欧姆定律的解！因此，交点代表该电源与该电阻组成闭合电路时的工作状态点。

六、电源的输出功率与效率

【深度理解】输出功率最大条件

电源总功率（电源消耗的总化学能/其他形式能量的功率）：

$$P_{\text{总}}=EI=\frac{E^2}{R+r}$$

电源输出功率（供给外电路的功率）：

$$P_{\text{出}}=UI=I^{2}R=\frac{E^{2}R}{(R+r{)}^2}$$

电源内部热功率（内阻消耗的功率）：

$$P_{\text{内}}=I^{2}r$$

电源效率（输出功率占总功率的比例）：

$$\eta =\frac{P_{\text{出}}}{P_{\text{总}}}=\frac{U}{E}=\frac{R}{R+r}$$

【思想方法】极值分析：输出功率最大条件

对 (P_{\text{出}} = \frac{E^2 R}{(R + r)^2}) 求极值，可用数学方法（求导或配方法）：

$$P_{\text{出}}=\frac{E^{2}R}{(R+r{)}^2}=\frac{E^2}{\frac{(R-r{)}^2}{R}+4r}$$

当 (R = r) 时，分母最小，(P_{\text{出}}) 取得最大值：

$$P_{\text{出,max}}=\frac{E^2}{4r}$$

此时效率：

$$\eta =\frac{r}{r+r}=50\mathrm{\%}$$

【隐性考点】电源输出功率随外电阻的变化曲线

• 当 (R < r) 时：(P_{\text{出}}) 随 (R) 增大而增大
• 当 (R = r) 时：(P_{\text{出}}) 达到最大值
• 当 (R > r) 时：(P_{\text{出}}) 随 (R) 增大而减小

注意：虽然 (R = r) 时输出功率最大，但效率只有 50%，有一半能量浪费在内阻上。实际供电系统（如远距离输电）通常不工作在匹配状态，而是追求高效率。

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12.3 实验：电池电动势和内阻的测量

一、实验原理

由闭合电路欧姆定律 (E = U + Ir)，变形得：

$$U=E-Ir$$

如果能测出多组路端电压 (U) 和总电流 (I)，画出 U-I 图线，即可通过纵截距求 E，通过斜率绝对值求 r。

二、伏安法

电路设计

需要测量的物理量：路端电压 (U)（用电压表测）和总电流 (I)（用电流表测）。

有两种接法：

接法	电路特点	误差来源	适用情况
电流表外接（电压表直接并联在电源两端）	电压表测的是真实路端电压；电流表测的是外电路总电流减去电压表分流	电压表分流导致电流测量值偏小	小内阻电源，或电压表内阻很大时
电流表内接（电流表串联在干路中）	电流表测的是真实干路电流；电压表测的是路端电压加上电流表分压	电流表分压导致电压测量值偏大	大内阻电源，或电流表内阻很小时

【实验思想】伏安法系统误差分析

电流表外接法（对电源而言，电流表接在外面，电压表直接并在电源两端）：

• 测量方程：(U = E_{\text{测}} - I_{\text{测}} r_{\text{测}})
• 由于电压表分流 (I_V = \frac{U}{R_V})，真实的干路电流应为 (I_{\text{真}} = I_{\text{测}} + I_V)
• 代入真实方程 (U = E - I_{\text{真}} r) 整理得：

$$U=E-(I_{\text{测}}+\frac{U}{R_V})r=E-I_{\text{测}}r-\frac{U}{R_V}r$$

对比测量方程可知：

$$E_{\text{测}}=\frac{R_V}{R_V+r}E<E,r_{\text{测}}=\frac{R_V}{R_V+r}r<r$$

结论：外接法测得的 (E) 和 (r) 都偏小。当 (R_V \gg r) 时，误差很小。

电流表内接法（电流表串联在干路中，电压表并在电源与电流表整体两端）：

• 电压表测的是 (U + I R_A)（路端电压加电流表分压）
• 整理得测量值：(E_{\text{测}} = E)（准确），但 (r_{\text{测}} = r + R_A > r)

结论：内接法测得的 (E) 准确，但 (r) 偏大（多测了电流表内阻）。

实际选择

由于电源内阻 (r) 通常较小（几欧姆以内），而电压表内阻 (R_V) 很大（几千欧姆以上），通常采用电流表外接法，误差更小。

三、安阻法（电流表 + 电阻箱）

电路与公式

只使用电流表和电阻箱（已知阻值 (R)），不用电压表。

由闭合电路欧姆定律：

$$E=I(R+r)$$

变形为：

$$\frac{1}{I}=\frac{1}{E}R+\frac{r}{E}$$

以 (R) 为横轴、(\frac{1}{I}) 为纵轴，得线性关系。通过线性拟合：

• 斜率 (k = \frac{1}{E}) → 求 (E)
• 纵截距 (b = \frac{r}{E}) → 求 (r = \frac{b}{k})

系统误差

安阻法同样存在电流表内阻的影响。若考虑电流表内阻 (R_A)：

$$E=I(R+r+R_A)$$

则测得的 "内阻" 实际上是 (r + R_A)，即 (r) 偏大。若电流表内阻已知，可修正。

四、伏阻法（电压表 + 电阻箱）

电路与公式

只使用电压表和电阻箱（已知阻值 (R)），不用电流表。

路端电压 (U) 与电阻箱 (R) 的关系：

$$U=\frac{R}{R+r}E$$

变形为：

$$\frac{1}{U}=\frac{r}{E}\cdot \frac{1}{R}+\frac{1}{E}$$

以 (\frac{1}{R}) 为横轴、(\frac{1}{U}) 为纵轴，得线性关系：

• 纵截距 (b = \frac{1}{E}) → 求 (E)
• 斜率 (k = \frac{r}{E}) → 求 (r = \frac{k}{b})

系统误差

由于电压表内阻 (R_V) 并非无穷大，电阻箱 (R) 与电压表并联后的等效电阻为 (R_{\text{并}} = \frac{R R_V}{R + R_V})。

实际方程为：

$$U=\frac{R_{\text{并}}}{R_{\text{并}}+r}E$$

这样测得的 (E) 和 (r) 均偏小。当 (R_V \gg R) 时，误差较小。

五、U-I 图像法的数据处理

【实验思想】图像法的优势

1. 减小偶然误差：描点后画直线，相当于对多组数据取平均
2. 发现粗大误差：明显偏离直线的点可以识别并剔除
3. 直观获取结果：纵截距直接读 (E)，斜率直接算 (r)

数据处理要点

• 描点时要选择合适的标度，使图线尽可能占据坐标纸的大部分区域
• 画直线时用直尺拟合，使点均匀分布在直线两侧
• 求斜率时不能直接用测量点的坐标，应在直线上另取两个相距较远的点计算

例如取直线上两点 ((I_1, U_1)) 和 ((I_2, U_2))：

$$r=\left|\frac{U_2-U_1}{I_2-I_1}\right|=\frac{|\mathrm{\Delta }U|}{|\mathrm{\Delta }I|}$$

• 纵截距若不在坐标原点，可延长直线与纵轴相交读取；或用公式 (E = U + Ir) 代入直线上一点和斜率求得

六、三种测量方法对比总结

方法	器材	原理公式	图像处理	主要误差来源	(E) 误差	(r) 误差
伏安法（外接）	电压表、电流表、滑动变阻器	(U = E - Ir)	(U-I) 图，纵截距 = (E)，斜率 = (-r)	电压表分流	偏小	偏小
伏安法（内接）	同上	同上	同上	电流表分压	准确	偏大
安阻法	电流表、电阻箱	(1/I = R/E + r/E)	(1/I - R) 图，斜率 = (1/E)	电流表内阻	通常准确	偏大
伏阻法	电压表、电阻箱	(1/U = r/(ER) + 1/E)	(1/U - 1/R) 图，纵截距 = (1/E)	电压表分流	偏小	偏小

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12.4 能源与可持续发展

一、能量守恒定律

内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。

数学表达：

$$\mathrm{\Delta }{E}_{\text{增}}=\mathrm{\Delta }{E}_{\text{减}}$$

或

$$E_{\text{初}}=E_{\text{末}}$$

在电路中的体现：

$$W_{\text{非静电力}}=Q_{\text{外}}+Q_{\text{内}}+E_{\text{其他}}$$

即电源提供的总电能 = 外电路消耗的能量 + 内电路消耗的能量 + 其他形式能量（如电动机输出的机械能）。

二、能量耗散

定义：能量在转化过程中，往往会有相当一部分内能散失到环境中，这些内能很难被重新收集利用，这种现象叫能量耗散。

理解要点：

• 能量耗散不是能量消失——总能量仍然守恒
• 能量耗散是指能量的品质降低——从便于利用的形式（电能、机械能）转化为不便于利用的形式（环境内能）
• 能量耗散反映了宏观热现象的方向性（与热力学第二定律相联系）

【易错警示】

• "能量耗散" ≠ "能量不守恒"！能量守恒定律是自然界普遍规律，能量耗散只是说可利用的能量减少了。

三、能源的分类

分类标准	类型	说明
按形成方式	一次能源	自然界天然存在：煤炭、石油、天然气、水能、风能、太阳能
	二次能源	由一次能源加工转换得到：电能、汽油、氢能
按可否再生	可再生能源	短期内可自然补充：水能、风能、太阳能、生物质能
	不可再生能源	短期内无法补充：煤炭、石油、天然气、核能
按环境影响	清洁能源	对环境污染小：太阳能、风能、水能、核能（无温室气体）
	非清洁能源	燃烧产生大量污染物：煤炭、石油（产生 CO₂、SO₂ 等）

四、可持续发展与物理

• 提高能源利用效率：减小输电损耗（高压输电）、提高热机效率、发展节能技术
• 开发新能源：太阳能光伏（光电效应）、风力发电（电磁感应）、核能（质能方程 (\Delta E = \Delta mc^2)）
• 减小能量耗散：通过技术改进减少热量散失，提高能量转化效率

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【知识串联】

与必修一"能量守恒"的联系

必修一学习了机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。其本质是更普遍的能量守恒定律在机械运动中的特例。

本章将能量守恒推广到电现象中：

• 电源的非静电力做功 → 电能
• 电场力做功 → 电能转移/转化
• 电流的热效应 → 电能转化为内能
• 电动机 → 电能转化为机械能 + 内能

从力学中的 (E_k + E_p = \text{常量}) 走向电学中的 (W_{\text{电}} = Q + E_{\text{机}} + \cdots)，是能量守恒思想的一次重大拓展。

与后续选修"电磁感应"的联系

在选修课程中，将学习电磁感应定律和交变电流：

• 感应电动势：(\mathcal{E} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t})（法拉第电磁感应定律）——发电机的工作原理
• 发电机可视为"将机械能转化为电能的电源"，同样具有内阻（线圈电阻），服从闭合电路欧姆定律
• 交流电路中，电源电动势随时间变化 (e = E_m \sin(\omega t))，但能量守恒关系和功率分析方法与本章一脉相承
• 远距离输电中的变压器原理、功率损耗 (P_{\text{损}} = I^2 R_{\text{线}}) 直接运用了本章的电热公式和功率知识

学习本章是为后续电磁感应、交变电流、电磁振荡等章节奠定电路分析的基础。

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【隐性考点】深度归纳

① 电源输出功率随外电阻的变化曲线

函数 (P_{\text{出}}(R) = \frac{E^2 R}{(R + r)^2}) 的图像特征：

• 起点 (R = 0) 时，(P_{\text{出}} = 0)
• 单调递增至 (R = r) 时达最大值 (P_{\text{max}} = \frac{E^2}{4r})
• 此后单调递减，(R \to \infty) 时 (P_{\text{出}} \to 0)
• 对于任意小于最大值的输出功率 (P_0 < P_{\text{max}})，总存在两个外电阻值 (R_1) 和 (R_2) 满足 (R_1 R_2 = r^2)

② 电动机问题的完整分析方法

对于一台电动机，已知额定电压 (U_{\text{额}})、额定功率 (P_{\text{额}})、线圈电阻 (r_M)：

• 额定工作电流：(I_{\text{额}} = \frac{P_{\text{额}}}{U_{\text{额}}})
• 输入电功率：(P_{\text{入}} = U_{\text{额}} I_{\text{额}})
• 热功率：(P_{\text{热}} = I_{\text{额}}^2 r_M)
• 输出机械功率：(P_{\text{机}} = P_{\text{入}} - P_{\text{热}})
• 效率：(\eta = \frac{P_{\text{机}}}{P_{\text{入}}} = \frac{U I - I^2 r_M}{U I})

⚠️ 电动机启动瞬间（转子未转动），反电动势为零，电流极大（(I = U/r_M)），相当于纯电阻！此时极易烧毁。

③ 电源U-I图线与电阻U-I图线的交点意义

图线	方程	斜率	物理意义
电源	(U = E - Ir)	负，绝对值为 (r)	电源的输出特性
电阻	(U = IR)	正，值为 (R)	电阻的伏安特性
交点	(U_0 = I_0 R = E - I_0 r)	—	实际工作状态

若将电源U-I图线和多个不同电阻的U-I图线画在同一坐标系中，各交点即代表该电阻接在该电源上时的实际工作点。

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【易错警示】全面汇总

序号	易错点	正确理解
1	电动势 (E) 等于路端电压 (U)	只有当 开路 或 理想电源（(r = 0)）时 (U = E)；正常工作时 (U = E - Ir < E)
2	非纯电阻电路中 (W = Q)	非纯电阻电路中 (W > Q)，电功大于电热，差值转化为机械能/化学能等
3	非纯电阻电路中乱用欧姆定律	对电动机整体 不能用 (R = U/I)，只能对发热的电阻部分用 (Q = I^2 R t)
4	能量耗散意味着能量消失	能量仍然守恒，耗散是指能量变为分散的内能，难以再利用，品质降低
5	输出功率最大时效率最高	错误！(R = r) 时输出功率最大，但效率只有 50%；效率随 (R) 增大而增大，(R \to \infty) 时 (\eta \to 100%)
6	短路电流无穷大	(I_{\text{短}} = E/r)，是有限的；但由于 (r) 很小，短路电流远大于正常工作电流
7	电源U-I图线斜率是正	电源U-I图线是 斜向下 的直线，斜率为 (-r)（负数）
8	求图线斜率时用测量点坐标	求斜率应在 拟合直线上 取相距较远的两点，不能直接用测量数据点

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【思想方法】总结升华

1. 能量守恒思想

本章的核心物理思想是能量守恒。无论是电功与电热的分配，还是闭合电路欧姆定律的推导，抑或是电源输出功率的分析，都可以从能量守恒的角度得到深刻理解。

应用模板：

• 明确系统：涉及哪些能量形式？
• 明确过程：能量如何转化、转移？
• 列方程：减少的能量 = 增加的能量（或总量守恒）
• 求解未知量

2. 图像法（U-I 图像）

图像是处理实验数据、理解物理规律的重要工具。

电源U-I图像的"三要素"：

• 纵截距 → (E)
• 横截距 → (I_{\text{短}})
• 斜率绝对值 → (r)

图像法的通用优势：

• 直观显示物理量间的关系
• 平均效应减小偶然误差
• 便于发现规律（线性、非线性）
• 通过截距、斜率、面积提取物理信息

3. 极值分析（输出功率最大条件）

求物理量极值的常用方法：

• 数学法：求导、配方法、不等式（均值不等式）
• 图像法：观察函数图像的顶点
• 物理分析法：分析特殊状态（开路、短路）

对于 (P_{\text{出}} = I^2 R = \frac{E^2 R}{(R + r)^2})，既可以用求导法找极值，也可以用配方法写成 (P_{\text{出}} = \frac{E^2}{\frac{(R - r)^2}{R} + 4r})，当 (R = r) 时分母最小，功率最大。

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本章公式速查表

公式	表达式	适用条件	备注
电功	(W = UIt)	任何电路	电流做的总功
电热	(Q = I^2 R t)	任何电路	焦耳定律
电功率	(P = UI)	任何电路	总功率
热功率	(P_{\text{热}} = I^2 R)	任何电路	发热功率
纯电阻功率	(P = UI = I^2 R = U^2/R)	纯电阻电路	欧姆定律成立
闭合电路欧姆定律	(I = E/(R + r))	纯电阻外电路	核心公式
路端电压	(U = E - Ir = IR)	任何外电路	(U) 随 (R) 增大而增大
短路电流	(I_{\text{短}} = E/r)	外电路短路	注意安全防护
电源总功率	(P_{\text{总}} = EI)	任何电路	电源消耗的总功率
电源输出功率	(P_{\text{出}} = UI)	任何电路	供给外电路的功率
电源效率	(\eta = U/E = R/(R + r))	纯电阻外电路	随 (R) 增大而增大
最大输出功率	(P_{\text{max}} = E^2/(4r))	当 (R = r)	此时 (\eta = 50%)
电动机输入	(P_{\text{入}} = UI)	电动机	总电功率
电动机输出	(P_{\text{出}} = UI - I^2 r_M)	电动机	机械功率

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本章学习寄语：从一根导线、一个电阻的"部分电路"，到包含电源内阻的"闭合电路"；从简单的 (U = IR)，到 (E = U + Ir) 中蕴含的能量守恒——这一章的进阶，不仅是公式的扩展，更是物理思维的提升：学会用能量的眼光审视一切物理过程，你将对自然界的运行规律有更深刻的洞察。