第六章 圆周运动

本章地位：圆周运动是曲线运动的典型代表，其运动学和动力学分析方法为第七章"万有引力与宇宙航行"提供必要的理论基础。

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一、描述体系的发展：从直线运动到圆周运动

1.1 角速度的引入

运动类型	描述工具	局限性
直线运动	位移 $x$、速度 $v$、加速度 $a$	无法描述转动
曲线运动（平抛）	运动的合成与分解	难以描述重复性的转动
圆周运动	线速度 + 角速度	需要双重描述体系

核心问题：当物体做圆周运动时，仅仅用线速度 $v$ 描述运动是否足够？

• 地球表面各点（赤道 vs 北极）线速度不同，但转动快慢是相同的——需要引入描述绕中心转动快慢的物理量
• 同一转动物体上各点线速度不同，但角速度相同——角速度更能反映转动的本质

因此，物理学引入了角速度 $\omega$，建立了一套与"线量"（$v,a$）并行的"角量"（$\omega ,\alpha$）描述体系。

1.2 向心力的概念是如何建立的？

历史逻辑：

1. 观察现象：月球绕地球运动、行星绕太阳运动——分析其维持圆周运动的动力学条件。
2. 牛顿的思考：月球具有向心加速度，却因具有足够大的水平速度而维持轨道运动
3. 理想实验：抛体运动的速度越大，落地点越远；当速度足够大时，物体会绕地球做圆周运动
4. 力的需求分析：圆周运动中速度方向时刻改变 → 必有加速度 → 必受不为零的合外力 → 该合外力必须指向圆心 → 向心力

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二、基础精讲

2.1 圆周运动的基本描述（§6.1）

（1）线速度 $v$

定义：物体沿圆周运动时，通过的弧长与所用时间的比值。

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$$

• 方向：沿圆周切线方向（时刻变化）
• 单位：$\text{m/s}$
• 物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢

关键点：匀速圆周运动的"匀速"指的是速率不变，速度方向时刻在变，因此匀速圆周运动是变速运动。

（2）角速度 $\omega$

定义：连接物体和圆心的半径转过的角度与所用时间的比值。

$$\omega =\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{\mathrm{\Delta }t}$$

• 单位：$\text{rad/s}$（弧度/秒）
• 物理意义：描述物体绕圆心转动的快慢
• 性质：同一刚体上各点角速度相同

（3）周期 $T$

定义：物体做匀速圆周运动一周所用的时间。

• 单位：秒（$\text{s}$）
• 与角速度的关系：转一周角度为 $2\pi$ rad

$$\omega =\frac{2\pi }{T}$$

（4）频率 $f$ 与转速 $n$

物理量	定义	单位	关系式
频率 $f$	单位时间内完成的转动圈数	$\text{Hz}$（${\text{s}}^{-1}$）	$f=\frac{1}{T}$
转速 $n$	单位时间内转过的圈数	$\text{r/s}$ 或 $\text{r/min}$	$n=f=\frac{1}{T}$（当单位为 $\text{r/s}$ 时）

（5）线速度与角速度的关系

推导过程：

设物体在 $\mathrm{\Delta }t$ 时间内转过角度 $\mathrm{\Delta }\theta$，对应弧长 $\mathrm{\Delta }s=r\cdot \mathrm{\Delta }\theta$

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{r\cdot \mathrm{\Delta }\theta }{\mathrm{\Delta }t}=r\cdot \frac{\mathrm{\Delta }\theta }{\mathrm{\Delta }t}=r\omega$$

$$\boxed{{\displaystyle v=\omega r}}$$

各物理量关系网：

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f=2\pi n(n\text{ 单位为 }\text{r/s})$$

$$v=\omega r=\frac{2\pi r}{T}=2\pi rf$$

（6）传动装置中的比例关系

传动类型	特点	关系式	示意图
同轴传动	绕同一轴转动	各点 $\omega$ 相同，$v\propto r$	$r_1$ 和 $r_2$ 共轴：${\omega }_1={\omega }_2$，$\frac{v_1}{v_2}=\frac{r_1}{r_2}$
皮带/齿轮传动	边缘点线速度大小相同	边缘点 $v$ 相同，$\omega \propto \frac{1}{r}$	$r_1$ 和 $r_2$ 由皮带连接：$v_1=v_2$，$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=\frac{r_2}{r_1}$

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2.2 向心力（§6.2）

（1）向心力的概念

定义：做匀速圆周运动的物体受到的总是指向圆心的合外力。

$$\boxed{{\displaystyle F_n=m\frac{v^2}{r}=m{\omega }^{2}r=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}r=m(2\pi f{)}^{2}r}}$$

（2）向心力公式推导——牛顿第二定律法

由向心加速度 $a_n=\frac{v^2}{r}$（见§2.3推导），结合牛顿第二定律 $F=ma$：

$$F_n=m{a}_n=m\frac{v^2}{r}$$

将 $v=\omega r$ 代入：

$$F_n=m\frac{(\omega r{)}^2}{r}=m{\omega }^{2}r$$

（3）向心力的来源分析——【核心要点】

向心力不是一种新力。 它是按效果命名的力，由其他力（重力、弹力、摩擦力等）或其合力来提供。

实例	受力分析	向心力来源
绳子系小球在水平面内做圆周运动	重力 $G$、绳拉力 $T$	绳拉力的水平分力（或说拉力与重力的合力指向圆心）
圆锥摆	重力 $G$、绳拉力 $T$	拉力与重力的合力（水平指向圆心）
物体随转盘一起做匀速圆周运动	重力 $G$、支持力 $N$、静摩擦力 $f$	静摩擦力（指向圆心）
汽车在水平弯道转弯	重力 $G$、支持力 $N$、静摩擦力 $f$	地面静摩擦力（指向弯道圆心）
电子绕核运动	库仑力 $F_e$	库仑引力
卫星绕地球运动	万有引力 $F_g$	万有引力

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2.3 向心加速度（§6.3）

（1）定义

描述线速度方向变化快慢的物理量。

$$a_n=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r$$

• 方向：始终指向圆心（时刻变化）
• 物理意义：只改变速度方向，不改变速度大小

（2）推导一：运动学推导法（速度分解法）

设质点以速度 $v$ 沿半径为 $r$ 的圆周做匀速运动。

在时间 $\mathrm{\Delta }t$ 内，从 $A$ 点运动到 $B$ 点，转过角度 $\mathrm{\Delta }\theta$。

速度变化分析：

• $A$ 点速度 ${\overrightarrow{v}}_A$（沿切线）
• $B$ 点速度 ${\overrightarrow{v}}_B$（沿切线，转过角度 $\mathrm{\Delta }\theta$）
• 速度变化 $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_B-{\overrightarrow{v}}_A$

将 ${\overrightarrow{v}}_A$ 和 ${\overrightarrow{v}}_B$ 平移到同一点，由矢量减法知：

当 $\mathrm{\Delta }t\to 0$ 时，$\mathrm{\Delta }\theta \to 0$，$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ 的方向垂直于 $\overrightarrow{v}$（即指向圆心）

速度三角形与几何三角形 $OAB$ 相似：

$$\frac{|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}|}{v}=\frac{\text{弦}AB}{r}\approx \frac{\text{弧}AB}{r}=\frac{v\mathrm{\Delta }t}{r}$$

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}|=\frac{v^2\mathrm{\Delta }t}{r}$$

$$a_n=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}|}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{v^2}{r}$$

（3）推导二：矢量求导法（进阶理解）

位置矢量：$\overrightarrow{r}=(r\cos \omega t,r\sin \omega t)$

速度：$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=(-r\omega \sin \omega t,r\omega \cos \omega t)$

加速度：$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=(-r{\omega }^2\cos \omega t,-r{\omega }^2\sin \omega t)=-{\omega }^2\overrightarrow{r}$

$$|\overrightarrow{a}|={\omega }^{2}r=\frac{v^2}{r}$$

方向与 $\overrightarrow{r}$ 相反，即指向圆心。

（4）匀速圆周运动的运动学特征总结

特征	说明
速度大小	不变
速度方向	时刻变化（沿切线）
加速度大小	不变 $a_n=\frac{v^2}{r}$
加速度方向	时刻变化（始终指向圆心）
运动性质	变加速曲线运动（加速度方向在变）

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2.4 圆周运动的实例分析（§6.4）

（1）火车转弯问题

背景：火车质量巨大，轮缘与铁轨之间的侧压力会造成严重磨损。

解决方案：外轨高于内轨（轨道倾斜）。

受力分析：

• 重力 $G=mg$（竖直向下）
• 支持力 $N$（垂直于轨道面向上）

两力合力提供向心力（水平指向圆心）：

$$F_n=mg\tan \theta =m\frac{v_0^2}{r}$$

设计速度：$$v_0 = \sqrt{gr\tan\theta}$$

实际情况	分析
$v=v_0$（设计速度）	重力与支持力的合力恰好提供向心力，轮缘不挤压内外轨
$v>v_0$（超速）	所需向心力增大，合力不足 → 外轨对轮缘产生侧压力补充
$v<v_0$（低速）	所需向心力减小，合力过大 → 内轨对轮缘产生侧压力抵消多余部分

（2）汽车过桥问题

凸形桥（拱桥）：

受力：重力 $mg$（向下），支持力 $N$（向上，指向圆心外侧）

向心力指向圆心（向下）：

$$mg-N=m\frac{v^2}{r}$$

$$N=mg-m\frac{v^2}{r}<mg$$

结论：汽车过凸桥时失重，速度越大，对桥面压力越小。当 $v=\sqrt{gr}$ 时，$N=0$，汽车将飞离桥面。

凹形桥：

受力：重力 $mg$（向下），支持力 $N$（向上，指向圆心）

向心力指向圆心（向上）：

$$N-mg=m\frac{v^2}{r}$$

$$N=mg+m\frac{v^2}{r}>mg$$

结论：汽车过凹桥时超重，速度越大，对桥面压力越大。

（3）离心运动

定义：做圆周运动的物体，由于惯性，具有沿切线方向运动的趋势。当向心力突然消失或不足时，物体将逐渐远离圆心的运动。

产生条件：

情况	结果
$F_{\mathrm{合}}=F_n=m{\omega }^{2}r$	匀速圆周运动
$F_{\mathrm{合}}=0$	沿切线方向飞出
$F_{\mathrm{合}}<m{\omega }^{2}r$（向心力不足）	离心运动（逐渐远离圆心）
$F_{\mathrm{合}}>m{\omega }^{2}r$（向心力过大）	近心运动（逐渐靠近圆心）

重要辨析：

• 不存在"离心力"。 离心运动并非受到"离心力"的作用
• 本质是惯性的表现：物体由于惯性保持原有运动状态（沿切线方向），当向心力不足以维持圆周运动时，物体将沿切线方向运动

应用与防止：

• 应用：洗衣机脱水、离心分离器、棉花糖制作
• 防止：汽车转弯限速、高速旋转飞轮不能超过转速限制

（4）竖直平面内圆周运动的临界问题

绳模型（轻绳系小球、外轨道约束——无支撑模型）：

最高点临界条件：绳/轨道只能提供向下的拉力/压力，不能提供向上的支持

$$mg+T=m\frac{v^2}{r}$$

临界情况 $T=0$：

$$mg=m\frac{v_{\mathrm{临}\mathrm{界}}^2}{r}\Rightarrow \boxed{{\displaystyle v_{\mathrm{临}\mathrm{界}}=\sqrt{gr}}}$$

最高点速度	运动情况
$v\ge \sqrt{gr}$	能通过最高点，绳/轨道有弹力
$v=\sqrt{gr}$	恰好通过最高点，绳/轨道弹力为零
$v<\sqrt{gr}$	不能通过最高点，在到达最高点前已下落

杆模型（轻杆系小球、管道约束——有支撑模型）：

杆既能提供拉力也能提供支持力，临界条件不同：

$$mg+N=m\frac{v^2}{r}(N\text{ 可为正、负或零})$$

最高点速度	弹力分析
$v>\sqrt{gr}$	杆对球为拉力（或外轨道向下压力）
$v=\sqrt{gr}$	弹力为零，仅重力提供向心力
$0\le v<\sqrt{gr}$	杆对球为支持力（或内轨道向上支持），$N=mg-m\frac{v^2}{r}>0$
$v=0$	恰好到达最高点，$N=mg$

核心对比：

	绳模型	杆模型
临界速度	$v_{min}=\sqrt{gr}$	$v_{min}=0$
最高点弹力方向	只能向下	可向上也可向下
能否静止在最高点	不能	能

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三、深度理解

3.1 向心力不是一种新的力

按性质命名的力：重力、弹力、摩擦力、分子力、电磁力——这些是自然界中真实存在的相互作用。

按效果命名的力：向心力、回复力、动力、阻力——这些是描述力在特定情境中所起的作用。

关键认识：

• 做圆周运动的物体，其合外力在指向圆心方向的分量就是向心力
• 向心力可以由一个力提供，也可以由多个力的合力提供，还可以由某个力的分力提供
• 分析圆周运动问题时，先找圆心，再分析受力，最后看哪些力的合力指向圆心

3.2 离心运动不是受到"离心力"

常见错误："离心运动是因为受到了离心力。"

正确理解：

• 在非惯性参考系（如转动的圆盘）中，为了形式上仍能使用牛顿定律，可以假想一个"惯性离心力"。但这是惯性效应，不是真实的力。
• 在惯性参考系中分析：物体做离心运动，是因为实际提供的向心力小于所需的向心力（$F_{\mathrm{合}}<m{\omega }^{2}r$），不足以维持圆周运动，物体由于惯性沿切线方向飞出。

3.3 竖直平面圆周运动最高点的临界条件推导

物理本质：在最高点，物体最易脱离圆周轨道。此时重力方向与向心力方向相同或相反，这一方向关系决定了临界条件。

对于绳模型：

• 在最高点：$mg+T=m\frac{v^2}{R}$
• 由于 $T\ge 0$，有 $mg\le m\frac{v^2}{R}$
• 即 $v^2\ge gR$，所以 $v\ge \sqrt{gR}$

临界速度 $v=\sqrt{gR}$ 的物理含义：此时重力恰好全部用来提供向心力，绳/轨道与物体间无相互作用。

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四、实验思想

4.1 探究向心力大小与质量、角速度、半径的关系

实验装置：向心力演示器（J2130型）

实验原理：利用皮带带动两个变速塔轮转动，使两个小球分别在水平面内做匀速圆周运动，通过横臂的弹簧形变程度来比较向心力大小。

实验方法——控制变量法：

探究目的	控制不变的量	改变的量	实验操作
$F_n$ 与 $m$ 的关系	$r$、$\omega$	$m$	选用不同质量的小球，放在相同半径处，同轴转动
$F_n$ 与 $\omega$ 的关系	$m$、$r$	$\omega$	选用相同质量的小球，放在相同半径处，通过塔轮改变转速比
$F_n$ 与 $r$ 的关系	$m$、$\omega$	$r$	选用相同质量的小球，放在不同半径处，同轴转动

实验结论：

$$F_n\propto m,F_n\propto {\omega }^2,F_n\propto r$$

综合得：$$F_n = km\omega^2 r \quad (k = 1 \text{ 在国际单位制中})$$

4.2 圆锥摆实验测向心力

实验装置：细线下端拴一小球，上端固定，使小球在水平面内做匀速圆周运动。

测量量：

• 小球质量 $m$（天平）
• 摆线长 $L$、高度 $h$（刻度尺）
• 转动 $n$ 圈的时间 $t$（秒表）

数据处理：

周期 $T=\frac{t}{n}$，角速度 $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi n}{t}$

圆周运动半径 $r=\sqrt{L^2-h^2}$

理论向心力：

$$F_{\mathrm{理}\mathrm{论}}=m{\omega }^{2}r=m\frac{4{\pi }^2{n}^2}{t^2}\sqrt{L^2-h^2}$$

实际向心力（由力的合成）：

$$F_{\mathrm{实}\mathrm{际}}=mg\tan \theta =mg\frac{r}{h}=mg\frac{\sqrt{L^2-h^2}}{h}$$

验证：比较 $F_{\mathrm{理}\mathrm{论}}$ 与 $F_{\mathrm{实}\mathrm{际}}$ 是否在实验误差范围内相等。

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五、知识串联

5.1 与平抛运动的对比——曲线运动的两种类型

对比项目	平抛运动	匀速圆周运动
受力特点	恒力（重力），方向不变	变力（向心力），方向时刻变化
加速度	恒定 $a=g$	大小不变，方向时刻变化
运动性质	匀变速曲线运动	变加速曲线运动
速度大小	越来越大	不变
速度方向	越来越接近竖直	时刻沿切线，连续变化
研究方法	运动的合成与分解	线量与角量的描述

共同特征：都是曲线运动，速度方向时刻变化，都需要用二维坐标描述。

5.2 与万有引力的联系——天体圆周运动的向心力来源

地面上的圆周运动 vs 天上的圆周运动：

	地面实例	天体运动
向心力来源	摩擦力、弹力、张力的合力	万有引力
公式表达	$F_n=m\frac{v^2}{r}$	$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$
应用场景	车辆转弯、圆锥摆、过山车	卫星轨道、行星运动、宇宙速度

本章是第七章的桥梁：

通过圆周运动的学习，我们掌握了 $F_n=m\frac{v^2}{r}$ 这一核心公式。当天体做圆周运动时，万有引力恰好充当向心力：

$$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}=m{\omega }^{2}r=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}r$$

第一宇宙速度的推导：

近地卫星轨道半径 $r\approx R$（地球半径），万有引力提供向心力：

$$mg=m\frac{v^2}{R}\Rightarrow v=\sqrt{gR}$$

此式与本章竖直圆周运动临界速度公式形式上完全一致。

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六、隐性考点

6.1 传动装置中各点的角速度/线速度关系

解题口诀：

• 同轴共转等 $\omega$：绕同一轴转动的各点角速度相同
• 同缘传动等 $v$：皮带（或齿轮）边缘接触的点线速度大小相同
• 共线联动按比例：通过传动比计算各量关系

典型例题思路：

如图所示，轮 $A$ 和轮 $B$ 同轴，轮 $B$ 通过皮带带动轮 $C$。已知 $r_A:r_B:r_C=1:2:3$，求三轮边缘上 $a,b,c$ 三点的线速度之比和角速度之比。

分析：

• $a$ 和 $b$ 同轴 $\Rightarrow {\omega }_a={\omega }_b$，$\frac{v_a}{v_b}=\frac{r_A}{r_B}=\frac{1}{2}$
• $b$ 和 $c$ 皮带传动 $\Rightarrow v_b=v_c$，$\frac{{\omega }_b}{{\omega }_c}=\frac{r_C}{r_B}=\frac{3}{2}$
• 综合得：$v_a:v_b:v_c=1:2:2$，${\omega }_a:{\omega }_b:{\omega }_c=3:3:2$

6.2 向心力公式的灵活选用

$$F_n=m\frac{v^2}{r}=m{\omega }^{2}r=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}r=m(2\pi f{)}^{2}r=m\omega v$$

选用技巧：

• 已知 $v$ 和 $r$ $\to$ 用 $F_n=m\frac{v^2}{r}$
• 已知 $\omega$ 和 $r$ $\to$ 用 $F_n=m{\omega }^{2}r$
• 已知 $T$ 或 $f$ $\to$ 用含 $T$ 或 $f$ 的公式
• 传动问题（$\omega$ 相同）$\to$ 优先用 $F_n=m{\omega }^{2}r$（$F\propto r$）
• 皮带传动（$v$ 相同）$\to$ 优先用 $F_n=m\frac{v^2}{r}$（$F\propto \frac{1}{r}$）

6.3 汽车过拱桥 vs 凹桥的压力比较

	凸桥（拱桥）	凹桥
圆心位置	在桥面下方	在桥面上方
向心力方向	向下	向上
动力学方程	$mg-N=m\frac{v^2}{r}$	$N-mg=m\frac{v^2}{r}$
支持力	$N=mg-m\frac{v^2}{r}$	$N=mg+m\frac{v^2}{r}$
与重力比较	$N<mg$（失重）	$N>mg$（超重）
速度越大	压力越小（危险：易飞离）	压力越大（危险：易压坏桥）

拓展：航天员在太空中的失重现象，与汽车以 $v=\sqrt{gR}$ 过凸桥时 $N=0$ 的状态具有相同的动力学本质：万有引力（或重力与支持力的合力）全部用于提供向心加速度，物体对支持物的作用力为零。

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七、易错警示

⚠️ 易错点 1：匀速圆周运动是变速运动

错误认识："匀速圆周运动的速度不变，所以是匀速运动。"

正解：匀速圆周运动的"匀速"指的是速率不变。速度是矢量，方向时刻沿切线方向变化，所以速度在变化。匀速圆周运动是变速运动，而且是变加速曲线运动（加速度方向也在变化）。

⚠️ 易错点 2：向心力改变速度方向不改变大小

深入理解：向心力始终垂直于速度方向，所以向心力对物体不做功（$W=F\cdot s\cdot \cos 90°=0$）。根据动能定理，不做功意味着动能不变，即速率不变。但向心力持续改变速度的方向，使物体做圆周运动。

深入分析：向心力始终垂直于速度方向，故对物体不做功（$W=F\cdot s\cdot \cos 90°=0$）。由动能定理，不做功则动能不变，即速率不变；向心力持续改变速度方向，使物体做圆周运动。

⚠️ 易错点 3：离心运动不是力造成的

错误说法："物体做离心运动是因为受到了离心力。"

正解：离心运动的本质是惯性的表现。在惯性参考系中，当实际提供的向心力不足以满足圆周运动所需时（$F_{\mathrm{供}}<F_{\mathrm{需}}=m{\omega }^{2}r$），物体由于惯性将沿切线方向飞出，表现为远离圆心的运动。

⚠️ 易错点 4：绳模型与杆模型临界条件混淆

	绳模型	杆模型
最高点最小速度	$v_{min}=\sqrt{gR}$	$v_{min}=0$
原因	绳不能提供支持力	杆能提供支持力
弹力为零的位置	仅在 $v=\sqrt{gR}$ 时	在 $v=\sqrt{gR}$ 时
到达最高点的含义	必须保持圆周运动轨迹	可以静止在最高点

记忆技巧：

• 绳——只能提供拉力，不能提供支持力 → 最高点须满足 $v\ge \sqrt{gR}$ 才能维持圆周运动
• 杆——既能提供拉力也能提供支持力 → 最高点可被支撑

⚠️ 易错点 5：向心力公式中 $r$ 的选取

在 $F_n=m\frac{v^2}{r}$ 和 $F_n=m{\omega }^{2}r$ 中，$r$ 指的是圆周运动的轨道半径，不一定是物体的运动半径。在圆锥摆等复合运动中，要注意区分几何半径和运动半径。

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八、思想方法

8.1 极限思想——瞬时速度方向的确定

问题：如何确定圆周运动某点的瞬时速度方向？

方法：取该点附近极短的一段弧，当时间 $\mathrm{\Delta }t\to 0$ 时，这段弧无限接近于该点的切线，位移方向就是切线方向。

结论：圆周运动某点的瞬时速度方向沿该点的切线方向。

8.2 等效替代法——合力充当向心力

核心思想：在圆周运动中，不需要单独画一个"向心力"。而是先分析物体受到的所有力（重力、弹力、摩擦力等），再求它们的合力，这个合力在指向圆心方向的分量就是向心力。

操作步骤：

1. 确定圆心位置和轨道平面
2. 对物体进行受力分析（画出所有实际力）
3. 建立坐标系：一个方向指向圆心，一个方向垂直于半径
4. 指向圆心方向的合力 = 向心力
5. 列方程：$F_{\mathrm{指}\mathrm{向}\mathrm{圆}\mathrm{心}}=m\frac{v^2}{r}=m{\omega }^{2}r$

8.3 模型法——常见圆周运动模型

模型	示意图特征	关键分析	应用场景
绳模型	细绳系小球	最高点 $T\ge 0$，$v_{min}=\sqrt{gR}$	过山车（无轨约束）、水流星
杆模型	轻杆系小球	最高点弹力可正可负，$v_{min}=0$	管道、杆连接的系统
拱桥模型	汽车在拱形桥面	$N=mg-m\frac{v^2}{r}$	桥梁设计、路面起伏
圆锥摆模型	小球水平面内转动	$mg\tan \theta =m{\omega }^{2}r$	旋转秋千、转弯倾斜
转盘模型	物体放在旋转圆盘上	静摩擦力提供向心力	离心机、转盘上的物体

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九、物理图像

9.1 传动装置示意图

【同轴传动】                    【皮带传动】
    
    O───r₁───●A                ●───r₁───●
    │         （A点）           /         （轮1）
    │                          \\ belt（皮带）
    O───r₂───●B                /         （轮2）
              （B点）           ●───r₂───●
    
    ω_A = ω_B                  v_A = v_B（边缘）
    v_A/v_B = r₁/r₂            ω₁/ω₂ = r₂/r₁

9.2 竖直圆周运动的受力分析图

【绳模型——最高点】              【杆模型——最高点】

        O（圆心）                     O（圆心）
        │ ↑ T（拉力）                 │ ↑ N（可向上/向下）
        │                             │
        ●（小球）                     ●（小球）
        │                             │
        ↓ mg                          ↓ mg
        
方程：T + mg = mv²/R           方程：mg + N = mv²/R
      N > 0（向下拉力）
      N < 0（向上支持力）

【汽车过凸桥——最高点】           【汽车过凹桥——最低点】

        ●（汽车）                     O（圆心）
        │ ↓ mg                        │
        │ ↑ N                         │ ↑ N
        O（圆心）                     ●（汽车）
                                      │ ↓ mg
                                      
方程：mg - N = mv²/R           方程：N - mg = mv²/R
      N = mg - mv²/R < mg           N = mg + mv²/R > mg

9.3 离心运动原理图

【惯性参考系中的分析】

    向心力充足时（F = mω²r）：      向心力不足时（F < mω²r）：
    
         ● → v（切线）                   ● → v（切线）
        /                                /
       /                                 /  ╲（逐渐远离圆心）
      O（圆心）                         O（圆心）  ╲
      ↑ F_n                            ↑ F_n      ╲
      （圆周运动）                     （离心运动）
      
【本质】：物体由于惯性要保持原来的速度方向（切线），
        当向心力不足以维持圆周运动时，轨迹逐渐远离圆心。

9.4 圆锥摆的受力分析

        O（悬点）
        │
        │ L（摆长）
        │
        │ θ
        ●（小球，质量m）
       / \\       r = Lsinθ（圆周半径）
      /   \\      h = Lcosθ（高度）
     ──────（水平面内的圆周运动，圆心在悬点正下方）
    
    受力分析：
    - 重力 mg（竖直向下）
    - 绳拉力 T（沿绳向上）
    
    竖直方向：Tcosθ = mg（平衡）
    水平方向：Tsinθ = mω²r = F_n（向心力）
    
    联立得：tanθ = ω²r/g = ω²Lsinθ/g
    
    周期：T = 2π√(h/g) = 2π√(Lcosθ/g)

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十、公式总结速查表

公式	适用情境	备注
$v=\omega r$	线速度与角速度换算	基础关系式
$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$	角速度与周期/频率换算
$F_n=m\frac{v^2}{r}$	已知线速度求向心力	皮带传动优先使用
$F_n=m{\omega }^{2}r$	已知角速度求向心力	同轴转动优先使用
$F_n=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}r$	已知周期求向心力	天体运动常用
$a_n=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r$	向心加速度
$v_{\mathrm{临}\mathrm{界}}=\sqrt{gR}$	绳模型最高点临界速度	恰好通过
$v_0=\sqrt{gr\tan \theta }$	火车转弯设计速度	内外轨无侧压
$T=2\pi \sqrt{\frac{L\cos \theta }{g}}$	圆锥摆周期	与质量无关

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十一、本章知识网络图

第六章 圆周运动
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├─ 运动的描述
│   ├─ 线速度 v（切线方向，变速！）
│   ├─ 角速度 ω（描述转动快慢）
│   ├─ 周期 T、频率 f、转速 n
│   └─ 关系网：v = ωr = 2πr/T = 2πrf
│
├─ 向心加速度 a_n
│   ├─ 运动学推导（速度三角形相似）
│   ├─ 矢量求导法（进阶）
│   └─ a_n = v²/r = ω²r（指向圆心）
│
├─ 向心力 F_n
│   ├─ 牛顿第二定律推导
│   ├─ F_n = mv²/r = mω²r（效果力，非新力！）
│   ├─ 来源分析：重力、弹力、摩擦力的合力或其分力
│   └─ 实验验证：控制变量法
│
├─ 生活中的应用
│   ├─ 火车转弯（倾斜轨道，设计速度）
│   ├─ 汽车过桥（凸桥失重，凹桥超重）
│   ├─ 离心运动（惯性效应，非"离心力"）
│   └─ 竖直圆周运动
│       ├─ 绳模型：v_min = √(gR)
│       └─ 杆模型：v_min = 0
│
└─ 衔接第七章
    └─ 天体运动：万有引力提供向心力
        G(Mm/r²) = mv²/r = mω²r = m(4π²/T²)r

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学习建议：

1. 牢记 $v=\omega r$ 这一基础关系，它是连接"线量"与"角量"的桥梁
2. 向心力分析要诀：找圆心 → 画受力 → 看指向圆心的合力
3. 绳模型和杆模型的临界条件不同，务必区分清楚
4. 多画受力分析图和圆周运动示意图，培养空间想象能力
5. 注意离心运动不是受力，而是向心力不足时的惯性表现

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本笔记依据人教版（2019版）高中物理必修第二册第六章编写