第七章 万有引力与宇宙航行

本章地位：本章系统阐述牛顿力学在天体运动领域的应用，从开普勒对行星运动的经验描述，到牛顿发现万有引力定律，再到人类实现宇宙航行的理论基础。本章的核心模型为万有引力提供向心力，天体运动问题的分析均以该方程为基础。

---

【来龙去脉】从地心说到日心说——人类宇宙观的千年变革

一、地心说（Geocentric Model）

学说	代表人物	核心观点	历史评价
地心说	托勒密（Claudius Ptolemy，约90-168）	地球是宇宙的中心，静止不动；太阳、月球及其他行星都绕地球做圆周运动；为了解释行星的"逆行"现象，引入了本轮-均轮模型	符合当时人们的直观经验，与宗教教义相契合，在西方思想中占据主导地位长达1400余年

本轮-均轮模型：行星在一个小圆（本轮）上做匀速圆周运动，本轮的圆心又在一个大圆（均轮）上绕地球做匀速圆周运动。这种复杂的叠加虽然能一定程度上拟合观测数据，但缺乏物理本质的解释。

二、日心说（Heliocentric Model）

学说	代表人物	核心观点	历史意义
日心说	哥白尼（Nicolaus Copernicus，1473-1543）	太阳是宇宙的中心；地球和其他行星都绕太阳做匀速圆周运动；地球自转产生昼夜交替	将宇宙中心从地球移至太阳，使自然科学从神学中独立出来。1543年《天体运行论》出版，被视为近代天文学的开端

• 布鲁诺（Giordano Bruno）坚持和发展了日心说，提出宇宙无限、恒星也是遥远太阳的观点，1600年被烧死在罗马鲜花广场。
• 伽利略（Galileo Galilei）用望远镜观测到木星的四颗卫星、金星盈亏、月球环形山等，为日心说提供了系统性观测证据。

三、第谷·布拉赫的精密观测

第谷·布拉赫（Tycho Brahe，1546-1601）

• 在丹麦汶岛建立了当时精度最高的天文观测设备
• 连续20余年对行星位置进行系统观测，位置精度达到2角分（1/30度），比前人提高约20倍
• 积累了大量行星运动原始数据
• 临终前将所有观测数据赠予开普勒，并委托他继续完善日心说模型

四、开普勒发现行星运动定律

约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler，1571-1630）

时间	突破	方法论意义
1609年	发表《新天文学》，提出第一定律和第二定律	摒弃"天体必须做圆周运动"的传统假设
1619年	发表《世界的和谐》，提出第三定律	从海量数据中归纳数学规律

关键步骤：开普勒最初假设火星轨道是偏心圆（圆心不在太阳上），计算结果与第谷数据仍有8角分误差。他坚信第谷数据的精确性，放弃圆轨道假设，尝试用椭圆描述，最终与观测数据精确吻合。

方法论分析：8角分的系统误差促使开普勒放弃圆轨道假设，表明实验精度对理论发展具有决定性作用。

五、牛顿发现万有引力定律

艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1643-1727）

时间	事件	理论发展
1665-1666年	"奇迹年"，因瘟疫避居乡下，开始思考引力问题	地面物体下落 → 月球绕地球运动 → 天地力学规律的统一性假设
1687年	发表《自然哲学的数学原理》，提出万有引力定律和三大运动定律	用数学证明了开普勒定律可由万有引力定律推导而出

牛顿的思维链条：

地面物体下落（加速度g ≈ 9.8 m/s²）
    ↓
月球绕地球转动（向心加速度a = v²/r）
    ↓
假设是同一种力：F ∝ 1/r²
    ↓
计算月球加速度：a_月 = GM/r² ≈ 2.7×10⁻³ m/s²
    ↓
与理论比值验证：g/a_月 = (r_月/R_地)² ≈ (60)² = 3600 ✓
    ↓
万有引力定律：F = G(m₁m₂)/r²

"如果说我看得比别人更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。" ——牛顿致胡克的信（1676年）

注：此处的"巨人"指代伽利略、开普勒、笛卡尔等前人的研究成果。

六、本章知识脉络图

第谷的观测数据
    ↓
开普勒三定律（经验规律，描述运动学特征）
    ↓
牛顿运动定律 + 开普勒定律 → 万有引力定律（理论解释，阐明动力学机制）
    ↓
万有引力理论的验证与应用
    ├── 测定地球质量（卡文迪什实验）
    ├── 发现未知天体（海王星、哈雷彗星）
    └── 宇宙航行（人造卫星、宇宙速度）
    ↓
牛顿力学的局限 → 爱因斯坦相对论（时空观的革命）

---

7.1 行星的运动——开普勒三定律

一、开普勒第一定律（轨道定律）

内容：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

数学表述：行星轨道方程（极坐标形式）

$$r=\frac{p}{1+e\cos \theta }$$

其中 $p=a(1-e²)$ 为半正焦弦，$e=c/a$ 为离心率，$a$ 为半长轴，$c$ 为焦距。

参数	物理意义	说明
$a$	半长轴	椭圆长轴的一半，决定轨道大小
$b$	半短轴	椭圆短轴的一半，$b=a\sqrt{1-e²}$
$c$	半焦距	焦点到椭圆中心的距离，$c²=a²-b²$
$e$	离心率	$e=c/a$（$0\le e<1$），$e=0$ 时为圆

行星轨道离心率：

行星	水星	金星	地球	火星	木星	土星
离心率 $e$	0.206	0.007	0.017	0.093	0.048	0.056

认识：太阳系行星轨道的离心率都很小，大多数接近圆。因此，在中学物理中，我们常常将椭圆轨道近似为圆轨道处理，太阳位于圆心。这种近似在很多时候是合理的，需注意这是数学上的简化处理。

二、开普勒第二定律（面积定律）⭐

内容：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

物理本质：角动量守恒的体现。

$$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\frac{L}{2m}=\text{常量}$$

其中 $L$ 是行星相对于太阳的角动量。

推论

位置	距离 $r$	速度 $v$	说明
近日点（Perihelion）	最小 $r_{min}=a(1-e)$	最大	行星运动最快
远日点（Aphelion）	最大 $r_{max}=a(1+e)$	最小	行星运动最慢

定量关系：

$$v_{\text{近}}\cdot r_{\text{近}}=v_{\text{远}}\cdot r_{\text{远}}$$

或写成：

$$v_1{r}_1\sin {\theta }_1=v_2{r}_2\sin {\theta }_2$$

当速度方向垂直于径矢时（近日点和远日点），简化为 $v_{\text{近}}{r}_{\text{近}}=v_{\text{远}}{r}_{\text{远}}$。

面积速度的计算

$$\frac{\mathrm{\Delta }A}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{1}{2}r{v}_{\perp }=\text{常量}$$

例题思路：已知某行星在近日点距离为 $r_1$、速度为 $v_1$，求远日点速度 $v_2$。

解：由面积定律，$v_1{r}_1=v_2{r}_2$，故 $v_2=v_1{r}_1/r_2$。

三、开普勒第三定律（周期定律）⭐⭐

内容：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

$$\frac{a³}{T²}=k$$

其中 $k$ 是一个与行星无关、只与**中心天体（太阳）**有关的常量。

对 $k$ 的分析

由万有引力提供向心力可推导出：

$$G\frac{Mm}{r²}=m\frac{4\pi ²}{T²}r\Rightarrow \frac{r³}{T²}=\frac{GM}{4\pi ²}=k$$

因此：

$$k=\frac{GM}{4\pi ²}$$

中心天体	$M$	$k$ 的数值（SI单位）
太阳	$1.99\times {10}^{30}$ kg	$3.35\times {10}^{18}$ m³/s²
地球	$5.97\times {10}^{24}$ kg	$1.01\times {10}^{13}$ m³/s²

结论：

1. $k$ 只与中心天体质量有关，与环绕天体（行星/卫星）的质量无关
2. 同一中心天体的所有环绕天体，$a³/T²$ 都相同
3. 比较不同行星系时，中心天体质量越大，$k$ 越大

第三定律的应用方法

比例法：当两颗行星绕同一恒星运动时：

$$\frac{a_1³}{T_1²}=\frac{a_2³}{T_2²}\Rightarrow \frac{T_1}{T_2}={\left(\frac{a_1}{a_2}\right)}^{3/2}$$

若轨道半径变为原来的4倍，则周期变为原来的 $4^{3/2}=8$ 倍。

四、开普勒三定律对比

定律	名称	核心内容	揭示规律	备注
第一定律	轨道定律	椭圆轨道，太阳在焦点	轨道的形状	$e$ 很小时可近似为圆
第二定律	面积定律	相等时间扫过相等面积	轨道的速度变化	角动量守恒的体现
第三定律	周期定律	$a³/T²=k$	轨道大小与周期的关系	$k$ 只与中心天体质量有关

---

7.2 万有引力定律

一、定律的发现历程

1. 牛顿的假设

牛顿对地面物体与天体运动的统一分析：

现象	地面	天体
运动	苹果落地	月球绕地球转动
原因	地球的吸引力？	地球的吸引力？
规律	$g\approx 9.8\text{m/s}²$	$a={\displaystyle \frac{4\pi ²r}{T²}}$

2. 月地检验（Moon-Earth Test）⭐

该实验通过定量计算证明了天地规律的统一性。

已知数据：

• 月球轨道半径：$r_{\mathrm{月}}\approx 3.84\times {10}^8$ m $ \approx 60 R_{地}$
• 地球半径：$R_{\mathrm{地}}\approx 6.4\times {10}^6$ m
• 月球公转周期：$T\approx 27.3$ 天 $\approx 2.36\times {10}^6$ s

计算月球向心加速度：

$$a_{\mathrm{月}}=\frac{4\pi ²r_{\mathrm{月}}}{T²}=\frac{4\times 3.14²\times 3.84\times {10}^8}{(2.36\times {10}^6)²}\approx 2.7\times {10}^{-3}\text{m/s}²$$

假设引力与距离平方成反比：

$$\frac{g}{a_{\mathrm{月}}}=\left(\frac{r_{\mathrm{月}}}{R_{\mathrm{地}}}\right)²=60²=3600$$

$$a_{\mathrm{月}}^{\mathrm{理}\mathrm{论}}=\frac{g}{3600}=\frac{9.8}{3600}\approx 2.7\times {10}^{-3}\text{m/s}²$$

结论：理论值与计算值精确吻合。月球绕地球的向心加速度与地面重力加速度之比为 $(R_{\mathrm{地}}/r_{\mathrm{月}}{)}^2=1/3600$，验证了地面物体所受引力与月球所受引力遵循相同的平方反比规律，即万有引力定律。

3. 从向心力公式到万有引力定律

第一步：假设行星轨道为圆，万有引力提供向心力

$$F=m\frac{v²}{r}=m\frac{4\pi ²r}{T²}$$

第二步：利用开普勒第三定律 $T²={\displaystyle \frac{r³}{k}}$，代入上式：

$$F=m\frac{4\pi ²r}{r³/k}=4\pi ²k\cdot \frac{m}{r²}=\frac{4\pi ²}{k}\cdot \frac{m}{r²}$$

第三步：由牛顿第三定律，力应该与两物体质量的乘积成正比

$$F\propto \frac{Mm}{r²}$$

第四步：引入引力常量 $G$，写成等式

$$F=G\frac{Mm}{r²}$$

二、万有引力定律的表述⭐⭐⭐

内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 $m_1$ 和 $m_2$ 的乘积成正比、与它们之间距离 $r$ 的二次方成反比。

$$\boxed{{\displaystyle F=G\frac{m_1{m}_2}{r²}}}$$

各物理量的含义

符号	名称	单位	说明
$F$	万有引力	N	两物体之间的引力大小
$G$	引力常量	N·m²/kg²	$G\approx 6.67\times {10}^{-11}$ N·m²/kg²
$m_1,m_2$	两物体质量	kg	两物体的质量
$r$	距离	m	两物体质心之间的距离

三、引力常量G的测定——卡文迪什实验

历史背景

牛顿发现了万有引力定律的数学形式，但未能测定 $G$ 的数值。没有 $G$ 的具体数值，就无法计算天体质量。因此，卡文迪什实验被称为**"测定地球质量的实验"**。

卡文迪什实验（Henry Cavendish，1798年）

要素	内容
实验装置	扭秤（Torsion Balance）：一根石英丝悬挂着轻质T形架，两端各有一个小铅球；地面上放置两个大铅球
实验原理	大球对小球的万有引力使T形架发生微小扭转，石英丝产生扭转力矩；当引力力矩等于扭转力矩时，测量扭转角度
设计特点	将微弱的万有引力效应转换为可测量的扭转角度
测定结果	$G\approx 6.754\times {10}^{-11}$ N·m²/kg²
现代精确值	$G=6.67430(15)\times {10}^{-11}$ N·m²/kg²

实验意义：

1. 首次在实验室中定量验证了万有引力定律
2. 首次通过实验测定引力常量并计算地球质量
3. 开创了测量弱力的精密实验方法

由G计算地球质量

$$mg=G\frac{Mm}{R²}\Rightarrow M=\frac{gR²}{G}=\frac{9.8\times (6.4\times {10}^6)²}{6.67\times {10}^{-11}}\approx 6.0\times {10}^{24}\text{kg}$$

四、万有引力定律的适用条件⭐⭐⭐

适用情况	说明
① 两质点之间	公式中的 $r$ 就是两质点之间的距离
② 两均匀球体之间	$r$ 为两球球心之间的距离；这是万有引力定律的一个重要推论，可用微积分严格证明
③ 球体与球外质点	均匀球体对球外质点的引力，等效于球体全部质量集中在球心
不适用情况	两物体间距与物体自身尺寸相当时；形状不规则且质量分布不均的物体

⚠️ 易错警示：$F=G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r²}}$ 中的 $r$ 是两球心的距离，不是物体表面间的距离，也不是距地面的高度！

五、万有引力与重力的关系

1. 不考虑地球自转时（极点）

$$F_{\mathrm{引}}=G\frac{Mm}{R²}=m{g}_0$$

此时万有引力等于重力，$g_0={\displaystyle \frac{GM}{R²}}$ 为不考虑自转时的重力加速度。

2. 考虑地球自转时（赤道与纬度 $\phi$ 处）⭐

在纬度 $\phi$ 处，物体随地球自转做圆周运动，需要向心力。万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力才是重力。

$$F_{\mathrm{引}}=G\frac{Mm}{R²}=mg+F_{\mathrm{向}}$$

赤道处（$\phi =0°$，圆周运动半径最大）：

$$m{g}_{\mathrm{赤}\mathrm{道}}=G\frac{Mm}{R²}-m\omega ²R$$

两极处（$\phi =90°$，圆周运动半径为零）：

$$m{g}_{\mathrm{两}\mathrm{极}}=G\frac{Mm}{R²}$$

一般纬度：

$$mg=\sqrt{(G\frac{Mm}{R²})²+(m\omega ²R\cos \phi )²-2(G\frac{Mm}{R²})(m\omega ²R\cos \phi )\cos \phi }$$

位置	重力加速度	说明
赤道	$g_{\mathrm{赤}\mathrm{道}}\approx 9.780$ m/s²	最小，因为需要最大的向心力
纬度45°	$g\approx 9.806$ m/s²	中间值
两极	$g_{\mathrm{两}\mathrm{极}}\approx 9.832$ m/s²	最大，不需要向心力

近似处理：由于地球自转的角速度很小（$\omega =2\pi /86400\approx 7.3\times {10}^{-5}$ rad/s），向心力占比很小：

$$\frac{m\omega ²R}{mg}\approx \frac{(7.3\times {10}^{-5})²\times 6.4\times {10}^6}{9.8}\approx 0.0034\approx \frac{1}{289}$$

因此在大多数问题中，可以近似认为万有引力等于重力。

六、重力加速度g随高度的变化

在距地面高度 $h$ 处（不考虑自转）：

$$m{g}_h=G\frac{Mm}{(R+h)²}$$

$$\boxed{{\displaystyle g_h=\frac{GM}{(R+h)²}=g_0\left(\frac{R}{R+h}\right)²}}$$

位置	重力加速度
地面（$h=0$）	$g_0={\displaystyle \frac{GM}{R²}}$
高度 $h$ 处	$g_h=g_0\left({\displaystyle \frac{R}{R+h}}\right)²$
距地心 $r$ 处	$g(r)={\displaystyle \frac{GM}{r²}}$（$r\ge R$）

若 $h\ll R$，近似有 $g_h\approx g_0(1-{\displaystyle \frac{2h}{R}})$。

七、地球内部的引力（拓展）

对于均匀球体，在距地心 $r<R$ 的内部：

$$F=G\frac{M^{\prime }m}{r²}=G\frac{(M\cdot \frac{r³}{R³})m}{r²}=\frac{GMm}{R³}r$$

即引力与到地心的距离 $r$ 成正比，呈线性关系。

---

7.3 万有引力理论的成就

核心思想：万有引力定律具有解释已知现象和预言未知现象的双重功能。

一、测定地球的质量

方法一：利用地表重力加速度（"黄金代换"）⭐⭐⭐

$$mg=G\frac{Mm}{R²}\Rightarrow \boxed{{\displaystyle GM=gR²}}$$

该式称为黄金代换式（$GM=g{R}^2$），在 $G$ 和 $M$ 未知时可将 $GM$ 作为整体使用。

$$M=\frac{gR²}{G}$$

代入数值：

$$M=\frac{9.8\times (6.4\times {10}^6)²}{6.67\times {10}^{-11}}\approx 5.96\times {10}^{24}\text{kg}$$

方法二：利用月球（或人造卫星）

$$G\frac{Mm}{r²}=m\frac{4\pi ²r}{T²}\Rightarrow M=\frac{4\pi ²r³}{GT²}$$

方法比较：

方法	需要测量的量	适用对象
黄金代换法	$g$、$R$	有卫星或能直接测量 $g$ 的行星
环绕天体法	$r$、$T$	任何有环绕天体的中心天体

二、计算天体密度

若天体半径为 $R$，近地卫星轨道半径 $r\approx R$：

$$\rho =\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R³}$$

情形一：利用近地卫星（$r\approx R$）⭐⭐

$$M=\frac{4\pi ²R³}{GT²}\Rightarrow \rho =\frac{3\pi }{GT²}$$

结论：当 $r=R$ 时，仅需近地卫星周期 $T$ 即可确定中心天体密度。

情形二：利用远地卫星（$r>R$）

$$\rho =\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R³}=\frac{3\pi r³}{GT²R³}$$

此时必须知道卫星轨道半径 $r$ 和天体半径 $R$。

⚠️ 深度考点：密度公式的适用条件

条件	公式	说明
近地卫星（$r=R$）	$\rho ={\displaystyle \frac{3\pi }{GT²}}$	只需要知道周期 $T$
远地卫星（$r>R$）	$\rho ={\displaystyle \frac{3\pi r³}{GT²R³}}$	需要知道 $r$、$T$、$R$ 三个量
一般情况	$\rho ={\displaystyle \frac{3\pi }{GT²}}\left({\displaystyle \frac{r}{R}}\right)³$	${\displaystyle \frac{r}{R}}$ 不能省略

错误分析：不分条件地套用 $\rho ={\displaystyle \frac{3\pi }{GT²}}$，这是仅适用于近地卫星的特殊公式！

三、发现未知天体

1. 海王星的发现（由理论计算预言的天体）

时间	事件	意义
1781年	赫歇尔发现天王星	太阳系的第七颗行星
1840s	观测到天王星轨道与理论预测存在偏差	暗示存在未知行星的引力干扰
1845年	亚当斯（英）计算出未知行星的位置	未被重视
1846年	勒威耶（法）独立计算，伽勒在柏林天文台观测到海王星	万有引力理论的重大验证

海王星是第一颗先由理论计算出位置、再被观测证实的行星，体现了万有引力定律的预言能力。

2. 哈雷彗星的回归预言

人物	贡献
埃德蒙·哈雷（Edmond Halley）	分析24颗彗星的轨道数据，发现1682年彗星与1531年、1607年的彗星轨道相似
预言	这是同一颗彗星，约76年回归一次，将于1758年底或1759年初再次出现
验证	1759年3月彗星按时回归（哈雷已于1742年去世）

哈雷彗星最近几次回归：1910年、1986年，预计2061年再次回归。

3. 其他成就

• 冥王星的发现（1930年，汤博）：同样基于海王星轨道的残余偏差计算
• 引力透镜效应：大质量天体使光线偏折，可用于探测暗物质分布
• GPS卫星的相对论修正：广义相对论效应必须被精确考虑

---

7.4 宇宙航行

一、人造卫星的基本原理

核心模型：万有引力提供向心力 ⭐⭐⭐

$$\boxed{{\displaystyle G\frac{Mm}{r²}=m\frac{v²}{r}=m\omega ²r=m\frac{4\pi ²}{T²}r=m{a}_{\mathrm{向}}}}$$

该方程是分析天体运动问题的基础。由此方程出发，可推导出卫星运动的各参量。

轨道参量与半径r的关系推导

以圆轨道为例，设中心天体质量为 $M$，卫星质量为 $m$，轨道半径为 $r$：

物理量	推导过程	结果	与 $r$ 的关系
线速度 $v$	$G{\displaystyle \frac{Mm}{r²}}=m{\displaystyle \frac{v²}{r}}$	$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r}}}$	$v\propto {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r}}}$
角速度 $\omega$	$G{\displaystyle \frac{Mm}{r²}}=m\omega ²r$	$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r³}}}$	$\omega \propto {\displaystyle \frac{1}{r^{3/2}}}$
周期 $T$	$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}$	$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r³}{GM}}}$	$T\propto r^{3/2}$
向心加速度 $a$	$a={\displaystyle \frac{GM}{r²}}$	$a={\displaystyle \frac{GM}{r²}}$	$a\propto {\displaystyle \frac{1}{r²}}$
频率 $f$	$f={\displaystyle \frac{1}{T}}$	$f={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r³}}}$	$f\propto {\displaystyle \frac{1}{r^{3/2}}}$
动能 $E_k$	$E_k={\displaystyle \frac{1}{2}}mv²$	$E_k={\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$	$E_k\propto {\displaystyle \frac{1}{r}}$
引力势能 $E_p$	$E_p=-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}$（取无穷远为零势能面）	$E_p=-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}$	$E_p\propto -{\displaystyle \frac{1}{r}}$
机械能 $E$	$E=E_k+E_p$	$E=-{\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$	$E\propto -{\displaystyle \frac{1}{r}}$

核心结论：轨道半径 $r$ 增大时，各物理量变化如下：

物理量	变化趋势	数学依据
线速度 $v$	减小	$v=\sqrt{GM/r}\propto 1/\sqrt{r}$
角速度 $\omega$	减小	$\omega =\sqrt{GM/r^3}\propto 1/r^{3/2}$
向心加速度 $a$	减小	$a=GM/r^2\propto 1/r^2$
周期 $T$	增大	$T=2\pi \sqrt{r^3/GM}\propto r^{3/2}$
动能 $E_k$	减小	$E_k=GMm/(2r)\propto 1/r$
机械能 $E$	增大	$E=-GMm/(2r)$（负值减小）

简记：$r$ 增大时，$v$、$\omega$、$a$、$E_k$ 减小，$T$、$E$ 增大。

二、宇宙速度

第一宇宙速度（环绕速度）⭐⭐⭐

定义：卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，是发射人造卫星的最小速度，也是卫星的最大环绕速度。

推导：

$$G\frac{Mm}{R²}=m\frac{v_1²}{R}\Rightarrow v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}$$

利用黄金代换 $GM=gR²$：

$$\boxed{{\displaystyle v_1=\sqrt{gR}=\sqrt{9.8\times 6.4\times {10}^6}\approx 7.9\text{km/s}}}$$

要点	内容
数值	$v_1\approx 7.9$ km/s $=7.9\times {10}^3$ m/s
轨道	近地圆轨道，轨道半径 $r\approx R_{\mathrm{地}}$
周期	$T={\displaystyle \frac{2\pi R}{v_1}}\approx 84$ min $\approx 1.4$ h
最小发射速度	发射卫星至少需要达到此速度
最大环绕速度	所有圆轨道卫星中，近地卫星速度最大

⚠️ 易错警示：第一宇宙速度是最小发射速度（要发射成功至少需这么大），但同时也是最大环绕速度（轨道越高速度越小）。发射速度 $v_1\le v_{\mathrm{发}\mathrm{射}}<v_2$ 时，卫星进入椭圆或更高圆轨道，其运行速度小于 $v_1$。

第二宇宙速度（脱离速度）

定义：物体完全摆脱地球引力束缚，飞向太阳系空间所需的最小发射速度。

$$\boxed{{\displaystyle v_2=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{2}{v}_1\approx 11.2\text{km/s}}}$$

发射速度 $v$	运动情况
$v<v_1=7.9$ km/s	无法成为卫星，落回地面
$v=v_1=7.9$ km/s	近地圆轨道
$v_1<v<v_2$	椭圆轨道（地球卫星）
$v=v_2=11.2$ km/s	抛物线轨道，刚好脱离地球
$v>v_2$	双曲线轨道，脱离地球

第三宇宙速度（逃逸速度）

定义：物体摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系所需的最小发射速度（相对地球）。

$$\boxed{{\displaystyle v_3\approx 16.7\text{km/s}}}$$

注意：$v_3$ 不是相对太阳的逃逸速度，而是考虑地球公转速度后的合成结果。地球绕太阳公转速度约30 km/s，可以借力。

宇宙速度总结

宇宙速度	数值	意义	轨道类型
第一宇宙速度 $v_1$	7.9 km/s	最小发射速度、最大环绕速度	圆或椭圆
第二宇宙速度 $v_2$	11.2 km/s	脱离地球引力的最小速度	抛物线
第三宇宙速度 $v_3$	16.7 km/s	脱离太阳系的最小速度	双曲线

三、同步卫星（地球静止轨道卫星）⭐⭐⭐

定义与特点

定义：相对于地面静止的人造卫星，其绕地球运行的周期等于地球自转周期（恒星日 $T=23$ h $56$ min $4$ s $\approx 86164$ s，通常近似取 $24$ h $=86400$ s）。

同步卫星的五个确定参数

特征	内容	推导
周期一定	$T=24$ h（与地球自转同步）	定义决定
轨道平面一定	必须在赤道平面内	若不在赤道平面，卫星无法相对地面静止
高度一定	$h\approx 36000$ km（距地面）	由 $T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r³}{GM}}}$ 反解
速率一定	$v\approx 3.07$ km/s	由 $v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$ 计算
向心加速度一定	$a\approx 0.22$ m/s²	由 $a={\displaystyle \frac{GM}{r²}}$ 计算

同步轨道高度的精确计算

$$r³=\frac{GMT²}{4\pi ²}=\frac{gR²T²}{4\pi ²}$$

$$r=\sqrt[3]{\frac{9.8\times (6.4\times {10}^6)²\times (86400)²}{4\times 3.14²}}\approx 4.22\times {10}^7\text{m}=4.22\times {10}^4\text{km}$$

$$h=r-R\approx 42200-6400=35800\text{km}\approx 3.6\times {10}^4\text{km}$$

⚠️ 易错警示：同步卫星必须在赤道上空！若卫星轨道平面与赤道平面有夹角，从地面看卫星会在天空中南北摆动，无法实现"同步"。

同步卫星与近地卫星的对比

参数	近地卫星	同步卫星
轨道半径 $r$	$\approx R\approx 6400$ km	$\approx 42000$ km
距地面高度 $h$	$\approx 0$（几百公里）	$\approx 36000$ km
线速度 $v$	$\approx 7.9$ km/s	$\approx 3.1$ km/s
周期 $T$	$\approx 1.4$ h	$=24$ h
角速度 $\omega$	大	小（等于地球自转角速度）
向心加速度 $a$	$\approx g\approx 9.8$ m/s²	$\approx 0.22$ m/s²

四、卫星变轨问题 ⭐⭐⭐

变轨原理

卫星从低轨道变到高轨道，需要加速；从高轨道变到低轨道，需要减速。该结论可通过能量分析和受力分析进行严格推导。

霍曼转移（Hohmann Transfer）——最省能量的变轨方式

                    高轨道（圆轨道2）
                   /       ②加速       \
                  /         ↓            \
                 /      转移椭圆轨道      \
                /     （近地点① 远地点③）   \
               /                          \
    ——————————①————————低轨道（圆轨道1）——————③加速————————
              \        /
               \      /
                \    /  转移椭圆
                 \  /
                  ②减速
                  ↓
                低轨道2（返回）

步骤	操作	速度变化	能量变化
① → ②	在①点（近地点）加速	$v_{\mathrm{①}}>v_{\mathrm{低}\mathrm{圆}}$	机械能增加
② → ③	沿椭圆轨道自由飞行	$v$ 逐渐减小	机械能守恒
③处	在③点（远地点）再加速	$v_{\mathrm{③}}>v_{\mathrm{椭}\mathrm{圆}\mathrm{远}\mathrm{地}\mathrm{点}}$	机械能再增加
最终结果	进入高圆轨道	$v_{\mathrm{高}\mathrm{圆}}<v_{\mathrm{低}\mathrm{圆}}$	$E_{\mathrm{高}}>E_{\mathrm{低}}$（负得更少）

变轨中的速度比较

在同一变轨点（如①点）：

$$\boxed{{\displaystyle v_{\mathrm{低}\mathrm{圆}}<v_{\mathrm{椭}\mathrm{圆}\mathrm{近}\mathrm{地}\mathrm{点}}<v_{\mathrm{椭}\mathrm{圆}\mathrm{远}\mathrm{地}\mathrm{点}}<v_{\mathrm{高}\mathrm{圆}}?}}$$

在同一点P（变轨点）：

轨道类型	在P点的速度	比较
低圆轨道经过P	$v_{\mathrm{低}\mathrm{圆}}$	基准
椭圆轨道近地点在P	$v_{\mathrm{近}}$	$v_{\mathrm{近}}>v_{\mathrm{低}\mathrm{圆}}$（需要加速才能进入椭圆）
椭圆轨道远地点在P	$v_{\mathrm{远}}$	$v_{\mathrm{远}}<v_{\mathrm{高}\mathrm{圆}}$（需要加速才能进入高圆）
高圆轨道经过P	$v_{\mathrm{高}\mathrm{圆}}$	最小（$v_{\mathrm{高}\mathrm{圆}}<v_{\mathrm{低}\mathrm{圆}}$）

完整的大小关系：

$$\boxed{{\displaystyle v_{\mathrm{椭}\mathrm{圆}\mathrm{近}\mathrm{地}\mathrm{点}}>v_{\mathrm{低}\mathrm{圆}}>v_{\mathrm{高}\mathrm{圆}}>v_{\mathrm{椭}\mathrm{圆}\mathrm{远}\mathrm{地}\mathrm{点}}}}$$

速度分布特征：椭圆轨道近地点速度最大，远地点速度最小。

变轨中的加速度比较

加速度由万有引力决定：$a={\displaystyle \frac{GM}{r²}}$

在同一点P（到地心距离相同），不同轨道的加速度相同：

$$a_{\mathrm{低}\mathrm{圆}}=a_{\mathrm{椭}\mathrm{圆}}=a_{\mathrm{高}\mathrm{圆}}=\frac{GM}{r_P²}$$

区分：速度不同（取决于轨道形状），加速度相同（只取决于位置）。

变轨中的机械能变化

过程	操作	机械能变化	原因
低轨 → 椭圆	点火加速	增加	发动机做正功
椭圆飞行	无动力	守恒	只有引力做功
椭圆 → 高轨	点火加速	增加	发动机做正功
高轨 → 低轨	点火减速	减少	发动机做负功

总结：轨道越高，机械能越大（$E=-{\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$，负得更少）。

五、赤道上的物体 vs 近地卫星 vs 同步卫星 ⭐⭐⭐

以下对三者进行系统比较。

比较项	赤道上的物体	近地卫星	同步卫星
受力分析	万有引力 - 支持力 = 向心力	万有引力 = 向心力	万有引力 = 向心力
轨道半径	$r=R$（在地表）	$r\approx R$	$r\approx 6.6R$
周期 $T$	$24$ h（与地球自转同步）	$\approx 1.4$ h	$24$ h
角速度 $\omega$	${\omega }_{\mathrm{地}}={\displaystyle \frac{2\pi }{86400}}$	大	${\omega }_{\mathrm{同}}={\omega }_{\mathrm{地}}$
线速度 $v$	$v_{\mathrm{物}}=\omega R$（小）	大（$\approx 7.9$ km/s）	$v_{\mathrm{同}}=\omega r_{\mathrm{同}}$（中）
向心加速度	$a_{\mathrm{物}}=\omega ²R$（小）	大（$\approx g$）	$a_{\mathrm{同}}=\omega ²r_{\mathrm{同}}$（中）

核心对比关系

由于同步卫星和赤道上的物体角速度相同（都等于地球自转角速度 $\omega$）：

$$\boxed{{\displaystyle {\omega }_{\mathrm{物}}={\omega }_{\mathrm{同}}<{\omega }_{\mathrm{近}}}}$$

$$\boxed{{\displaystyle v_{\mathrm{物}}<v_{\mathrm{同}}<v_{\mathrm{近}}}}$$

$$\boxed{{\displaystyle a_{\mathrm{物}}<a_{\mathrm{同}}<a_{\mathrm{近}}}}$$

注意：赤道上的物体不是卫星！它的向心力只是万有引力的极小部分（约1/289），大部分表现为重力（支持力平衡）。不能直接用 $v=\sqrt{GM/r}$ 计算其速度。

定量关系推导

对于同步卫星和赤道物体（$\omega$ 相同）：

$$\frac{v_{\mathrm{同}}}{v_{\mathrm{物}}}=\frac{\omega r_{\mathrm{同}}}{\omega R}=\frac{r_{\mathrm{同}}}{R}\approx \frac{42000}{6400}\approx 6.6$$

$$\frac{a_{\mathrm{同}}}{a_{\mathrm{物}}}=\frac{\omega ²r_{\mathrm{同}}}{\omega ²R}=\frac{r_{\mathrm{同}}}{R}\approx 6.6$$

六、双星问题 ⭐⭐⭐

物理模型

两个星体（质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$），在相互引力的作用下，绕它们连线上的某一固定点（质心）做匀速圆周运动。

核心特征

特征	内容
同轴转动	两星具有相同的角速度 $\omega$（和周期 $T$）
质心不动	系统质心保持静止（或匀速直线运动）
引力提供向心力	每颗星所需向心力由两星间的万有引力提供
距离关系	$r_1+r_2=L$（两星之间的距离）

方程组建立

对 $m_1$：

$$G\frac{m_1{m}_2}{L²}=m_1\omega ²r_1\text{...(1)}$$

对 $m_2$：

$$G\frac{m_1{m}_2}{L²}=m_2\omega ²r_2\text{...(2)}$$

质心条件：

$$m_1{r}_1=m_2{r}_2\Rightarrow \frac{r_1}{r_2}=\frac{m_2}{m_1}$$

结论

结论一：轨道半径与质量成反比

$$\boxed{{\displaystyle r_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}L,r_2=\frac{m_1}{m_1+m_2}L}}$$

结论二：总质量公式

由 (1) + (2)：

$$G\frac{(m_1+m_2)}{L²}=\omega ²(r_1+r_2)=\omega ²L$$

$$\boxed{{\displaystyle m_1+m_2=\frac{\omega ²L³}{G}=\frac{4\pi ²L³}{GT²}}}$$

这称为开普勒第三定律的推广形式，只适用于双星系统。

结论三：两颗星的线速度之比

$$\frac{v_1}{v_2}=\frac{\omega r_1}{\omega r_2}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{m_2}{m_1}$$

多星系统（拓展）

系统	特点
三星系统（直线型）	三星共线，两侧星绕中央星转动
三星系统（三角型）	三星等质量，位于等边三角形三个顶点，绕中心转动
四星系统（正方型）	四星等质量，位于正方形四个顶点

与单星系统的对比

对比项	单星-行星系统	双星系统
中心天体	一个（质量大，近似不动）	两个都动
运动描述	行星绕恒星转	两星绕质心转
$r$ 的含义	轨道半径 = 到中心天体距离	轨道半径 ≠ 两星距离
周期公式	$T²={\displaystyle \frac{4\pi ²r³}{GM}}$	$T²={\displaystyle \frac{4\pi ²L³}{G(m_1+m_2)}}$

核心区别：在双星问题中，万有引力公式中的距离是两星间距 $L$，但向心力公式中的半径是各自到质心的距离 $r_1$、$r_2$，不要混淆！

---

7.5 相对论时空观与牛顿力学的局限性

一、经典力学的成就

经典力学（以牛顿运动定律和万有引力定律为核心）在以下领域取得了成功：

领域	成就
天体运动	精确描述行星轨道，预言海王星、哈雷彗星回归
工程应用	桥梁、建筑、机械的设计与建造
航天技术	卫星轨道计算、飞船发射窗口确定
日常经验	适用于宏观、低速、弱引力条件

二、经典力学的适用范围

$$\boxed{{\displaystyle \text{经典力学}\iff \text{宏观}+\text{低速}+\text{弱引力}}}$$

条件	说明	反例
宏观	物体的尺度远大于原子尺度（$\sim {10}^{-10}$ m）	微观粒子（电子、质子等）
低速	速度远小于光速（$v\ll c$）	接近光速运动的粒子
弱引力	引力场不太强	黑洞附近、宇宙大爆炸初期

三、狭义相对论的时空观

1. 经典时空观（牛顿）

观念	内容	问题
绝对时间	时间的流逝与参考系无关，$t^{\prime }=t$	与光速不变矛盾
绝对空间	空间间隔与参考系无关，$l^{\prime }=l$	与实验事实矛盾
同时的绝对性	在一个参考系中同时发生的两件事，在所有参考系中都同时	被相对论否定
速度叠加	$v=v_1+v_2$（伽利略变换）	当 $v\to c$ 时失效

2. 相对论的两个基本假设

爱因斯坦1905年提出

假设	内容
相对性原理	物理规律在所有惯性参考系中具有相同的形式
光速不变原理	真空中的光速 $c$ 在所有惯性参考系中相同，与光源的运动无关

光速 $c=299792458$ m/s $\approx 3.0\times {10}^8$ m/s，是自然界的基本常数。

3. 时间膨胀（动钟变慢）⭐

内容：相对于观测者运动的钟，走得比静止的钟慢。

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }t=\frac{\mathrm{\Delta }{t}_0}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v²}{c²}}}}=\gamma \mathrm{\Delta }{t}_0}}$$

其中 $\mathrm{\Delta }{t}_0$ 为固有时间（相对事件静止的参考系中测得的时间），$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-v²/c²}}}$ 为洛伦兹因子。

速度 $v$	$\gamma$	时间膨胀效应
0.1$c$	1.005	膨胀0.5%
0.5$c$	1.155	膨胀15.5%
0.9$c$	2.294	膨胀129%
0.99$c$	7.089	膨胀609%
0.999$c$	22.37	膨胀2137%

双生子效应：乘坐高速飞船进行太空旅行后返回，旅行者经历的时间短于地面静止观察者。该效应并非佯谬，而是狭义相对论的必然推论，已被原子钟实验（如Hafele-Keating实验）精确证实。

4. 长度收缩（动尺缩短）

内容：相对于观测者沿运动方向运动的尺子，长度比静止时短。

$$\boxed{{\displaystyle l=l_0\sqrt{1-\frac{v²}{c²}}=\frac{l_0}{\gamma }}}$$

其中 $l_0$ 为固有长度（相对尺子静止的参考系中测得的长度）。

注意：长度收缩只发生在运动方向上，垂直于运动方向的长度不变。

5. 质速关系

内容：物体的质量随速度的增加而增大。

$$\boxed{{\displaystyle m=\frac{m_0}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v²}{c²}}}}=\gamma m_0}}$$

其中 $m_0$ 为静止质量。

6. 质能方程 ⭐

$$\boxed{{\displaystyle E=mc²}}$$

该方程表明：

• 质量和能量存在等价关系，满足 $E=m{c}^2$
• 即使静止的物体也具有能量 $E_0=m_{0}c²$
• 核能的释放（质量亏损）正是这一方程的应用

四、广义相对论简介

1. 基本思想

内容	说明
等效原理	匀加速参考系中的惯性力场与均匀引力场不可区分
时空弯曲	有质量的物体会使其周围的时空发生弯曲
引力不是力	物体在引力场中的运动，是在弯曲时空中的自由运动（测地线）

2. 实验验证

验证	内容
光线偏折	星光经过太阳附近时会发生偏折，偏折角约1.75角秒（1919年爱丁顿日食观测证实）
引力红移	引力场中的光波波长变长（频率变低）
水星近日点进动	经典力学无法完全解释水星轨道的额外进动，广义相对论精确预言
引力波	2015年LIGO首次直接探测到双黑洞并合产生的引力波
引力透镜	大质量天体使后方天体的光线发生偏折和放大

五、牛顿力学与相对论的关系

牛顿力学（经典力学）
    ├── 适用范围：宏观、低速(v≪c)、弱引力
    ├── 是相对论在v≪c条件下的近似
    └── 在工程、日常生活中完全适用

狭义相对论
    ├── 适用范围：宏观、任何速度、无引力（惯性系）
    ├── 修正了时间和空间的观念
    └── 当v≪c时，自动退化为牛顿力学

广义相对论
    ├── 适用范围：任何速度、有引力
    ├── 引力是时空弯曲的几何效应
    └── 在弱引力场中，退化为牛顿万有引力定律

关系本质：牛顿力学是相对论在特定条件下的近似，相对论是更普适的理论。但在其适用范围内，牛顿力学仍然精确有效，不会被推翻。

理论	速度范围	引力范围	关系
牛顿力学	$v\ll c$	弱引力	相对论的低速弱引力近似
狭义相对论	任意 $v<c$	无引力	广义相对论的零引力特例
广义相对论	任意 $v<c$	任意引力	最普适的引力理论

六、量子力学的补充

问题	经典力学	量子力学
黑体辐射	瑞利-金斯公式在高频发散（紫外灾难）	普朗克能量量子化假说给出精确解释
光电效应	无法解释存在截止频率	爱因斯坦光量子理论解释
原子结构	电子会螺旋落入原子核，原子不能稳定	玻尔量子化轨道、薛定谔方程
物质波	无	德布罗意：$\lambda =h/p$，粒子也有波动性

20世纪物理学的两大理论突破：相对论（改变时空观）和量子力学（改变微观世界的描述），共同构成了现代物理学的基础。

---

【知识串联】

本章知识网络图

                    第谷的精密观测数据
                           ↓
                    开普勒三定律（1609, 1619）
                    ├─ 轨道定律：椭圆轨道
                    ├─ 面积定律：角动量守恒
                    └─ 周期定律：a³/T² = k
                           ↓
                    牛顿万有引力定律（1687）
                    F = G(m₁m₂)/r²
                    ├─ 月地检验证实
                    ├─ 推导开普勒定律
                    └─ 预言未知天体
                           ↓
            ┌──────────────┼──────────────┐
            ↓              ↓              ↓
     测定地球质量    发现海王星      宇宙航行
     M = gR²/G      理论预言天体    └─ 第一宇宙速度
     ρ = 3π/GT²     哈雷彗星回归    └─ 同步卫星
                                     └─ 卫星变轨
                           ↓
                    牛顿力学的局限性
                    ├─ 高速 → 狭义相对论
                    │   └─ 时间膨胀、长度收缩、E=mc²
                    └─ 强引力 → 广义相对论
                        └─ 时空弯曲、引力波

核心公式网络

万有引力定律
    F = G(Mm)/r²
         │
         ├── 地面附近：mg = GMm/R²  →  GM = gR²（黄金代换）
         │
         ├── 天体圆周运动：F = F向
         │   G(Mm)/r² = mv²/r = mω²r = m(4π²/T²)r
         │   ├── v = √(GM/r)      ∝ 1/√r
         │   ├── ω = √(GM/r³)     ∝ 1/r^(3/2)
         │   ├── T = 2π√(r³/GM)   ∝ r^(3/2)
         │   └── a = GM/r²        ∝ 1/r²
         │
         ├── 宇宙速度
         │   ├── v₁ = √(gR) ≈ 7.9 km/s
         │   ├── v₂ = √2·v₁ ≈ 11.2 km/s
         │   └── v₃ ≈ 16.7 km/s
         │
         ├── 天体质量 M = 4π²r³/(GT²)
         │
         └── 天体密度 ρ = 3π/(GT²)（近地卫星）

---

【深度剖析】

深度考点①：双星问题详解

典型例题框架

两颗恒星质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$，相距 $L$，绕共同质心做匀速圆周运动。求各自的轨道半径和周期。

解：

设 $m_1$ 的轨道半径为 $r_1$，$m_2$ 的轨道半径为 $r_2$。

由质心条件：$m_1{r}_1=m_2{r}_2$，且 $r_1+r_2=L$

解得：

$$r_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}L,r_2=\frac{m_1}{m_1+m_2}L$$

对 $m_1$ 列方程：

$$G\frac{m_1{m}_2}{L²}=m_1\frac{4\pi ²}{T²}{r}_1=m_1\frac{4\pi ²}{T²}\cdot \frac{m_2}{m_1+m_2}L$$

整理得：

$$T²=\frac{4\pi ²L³}{G(m_1+m_2)}$$

方法提示：求双星系统总质量时，直接用 $m_1+m_2={\displaystyle \frac{4\pi ²L³}{GT²}}$，不需要单独求每个质量。

深度考点②：赤道物体 vs 近地卫星 vs 同步卫星

关键区分

问题	分析
能否都用 $v=\sqrt{GM/r}$？	不能！ 只有万有引力完全提供向心力时才适用（卫星）。赤道上的物体不是卫星
同步卫星和赤道物体的联系	角速度相同（都等于地球自转角速度），因此可以用 $v=\omega r$、$a=\omega ²r$ 比较
向心力来源	卫星：万有引力 = 向心力；赤道物体：万有引力 - 支持力 = 向心力

典型比较结论

若比较向心加速度：

$$a_{\mathrm{赤}\mathrm{道}\mathrm{物}\mathrm{体}}=\omega ²R\approx 0.034\text{m/s}²$$

$$a_{\mathrm{同}\mathrm{步}\mathrm{卫}\mathrm{星}}=\omega ²r_{\mathrm{同}}\approx 0.22\text{m/s}²$$

$$a_{\mathrm{近}\mathrm{地}\mathrm{卫}\mathrm{星}}=\frac{GM}{R²}=g\approx 9.8\text{m/s}²$$

$$\boxed{{\displaystyle a_{\mathrm{赤}\mathrm{道}\mathrm{物}\mathrm{体}}<a_{\mathrm{同}\mathrm{步}\mathrm{卫}\mathrm{星}}<a_{\mathrm{近}\mathrm{地}\mathrm{卫}\mathrm{星}}}}$$

注意：$a_{\mathrm{赤}\mathrm{道}\mathrm{物}\mathrm{体}}\ll g$，说明地球自转的影响很小，通常可忽略。

深度考点③：卫星变轨中的机械能变化

能量公式总结

对于圆轨道卫星：

能量类型	公式	与 $r$ 的关系
动能	$E_k={\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$	$\propto {\displaystyle \frac{1}{r}}$
引力势能	$E_p=-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}$	$\propto -{\displaystyle \frac{1}{r}}$
机械能	$E=-{\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$	$\propto -{\displaystyle \frac{1}{r}}$

结论：

• 轨道越高，动能越小，势能增大（负值减小）
• 轨道越高，总机械能越大（$E_2>E_1$，因为 $-5>-10$）
• 从低轨到高轨需要增加能量（发动机做正功）

变轨中的能量变化

过程	初态机械能	末态机械能	能量变化
低圆 → 椭圆（近地点加速）	$E_1=-{\displaystyle \frac{GMm}{2r_1}}$	$E_{\mathrm{椭}}=-{\displaystyle \frac{GMm}{r_1+r_3}}$	增加
椭圆 → 高圆（远地点加速）	$E_{\mathrm{椭}}=-{\displaystyle \frac{GMm}{r_1+r_3}}$	$E_2=-{\displaystyle \frac{GMm}{2r_3}}$	增加

对于椭圆轨道，半长轴 $a={\displaystyle \frac{r_1+r_3}{2}}$，机械能 $E=-{\displaystyle \frac{GMm}{2a}}=-{\displaystyle \frac{GMm}{r_1+r_3}}$。

深度考点④：密度估算的适用条件

公式来源

$$\rho =\frac{M}{V}=\frac{3M}{4\pi R³}$$

由 $G{\displaystyle \frac{Mm}{r²}}=m{\displaystyle \frac{4\pi ²}{T²}}r$，得 $M={\displaystyle \frac{4\pi ²r³}{GT²}}$

代入：

$$\rho =\frac{3}{4\pi R³}\cdot \frac{4\pi ²r³}{GT²}=\frac{3\pi r³}{GT²R³}$$

条件分析

条件	结果	说明
近地卫星：$r=R$	$\rho ={\displaystyle \frac{3\pi }{GT²}}$	仅需周期 $T$
一般卫星：$r>R$	$\rho ={\displaystyle \frac{3\pi r³}{GT²R³}}$	需 $r$、$T$、$R$
已知 $r/R$ 比值	$\rho ={\displaystyle \frac{3\pi }{GT²}}\left({\displaystyle \frac{r}{R}}\right)³$	用比值代入

典型陷阱：题目给出"某行星卫星轨道半径为 $3R$（$R$ 为行星半径），周期为 $T$"，若直接套用 $\rho =3\pi /(GT²)$ 就会出错。正确做法：$\rho ={\displaystyle \frac{3\pi (3R)³}{GT²R³}}={\displaystyle \frac{81\pi }{GT²}}$。

---

【常见错误分析】

易错点①：$r$ 的含义

错误：将 $r$ 理解为"距地面的高度 $h$"

正确：$r=R+h$，是到地心（球心）的距离

例题：某卫星在距地面高度 $h=R$ 的圆轨道上运行，求其速度。

错解：$v=\sqrt{GM/h}=\sqrt{GM/R}=v_1$

正解：$v=\sqrt{GM/(R+h)}=\sqrt{GM/(2R)}={\displaystyle \frac{v_1}{\sqrt{2}}}\approx 5.6$ km/s

易错点②：第一宇宙速度的双重身份

最小发射速度：要将卫星发射到近地轨道，至少需要 $v_1=7.9$ km/s 的初速度。

最大环绕速度：所有稳定圆轨道卫星中，近地卫星的环绕速度最大（$v=\sqrt{GM/r}$，$r$ 最小则 $v$ 最大）。

理解：发射速度 $7.9$ km/s $ \leq v_{发射} < 11.2$ km/s 时，卫星进入椭圆轨道；在近地点速度最大，大于 $7.9$ km/s；在远地点速度最小，小于 $7.9$ km/s；若要进入更高圆轨道，远地点速度还需进一步加速，最终高圆轨道的运行速度反而小于 $7.9$ km/s。

易错点③：万有引力公式的适用条件

$F=G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r²}}$ 只适用于：

1. 两个质点之间
2. 两个均匀球体之间（$r$ 为球心距）
3. 均匀球体与球外质点之间（球体质量等效在球心）

不适用于：

• 两个靠得很近的非球体（$r$ 与物体尺寸相当）
• 球体内部的引力计算（需用积分，内部引力与 $r$ 成正比）

易错点④：同步卫星的位置

错误认为：同步卫星可以在任意纬度上空，只是相对地面静止。

正确理解：同步卫星必须在赤道平面内运行！

原因：若卫星轨道与赤道平面有夹角，从地面看，卫星会在天空中南北往返摆动，无法实现"相对地面静止"。只有在赤道平面内的圆轨道，卫星才能始终固定在赤道上某点的正上方。

易错点⑤：万有引力与向心力的关系

常见错误表述："万有引力等于向心力"

准确表述：对于仅受万有引力作用、做匀速圆周运动的天体/卫星，万有引力提供向心力。

反例：

• 赤道上的物体：万有引力的一部分提供向心力，另一部分表现为重力
• 椭圆轨道：万有引力不完全提供向心力（还有切向分量改变速度大小）

易错点⑥：变轨时的加速度与速度

混淆：认为变轨点加速后加速度也变大。

区分：

• 速度变化：发动机做功导致机械能变化，速度突变
• 加速度：只取决于位置（$a=GM/r²$），同一点加速度相同

变轨瞬间：速度发生突变（增加或减少），但加速度不变（因为位置没变）。

易错点⑦：黄金代换的使用条件

公式：$GM=gR²$

来源：$G{\displaystyle \frac{Mm}{R²}}=mg$（不考虑地球自转）

注意：

• 此式中的 $g$ 是不考虑地球自转时的重力加速度
• 在赤道处，$g_{\mathrm{赤}\mathrm{道}}<g_{\mathrm{两}\mathrm{极}}$，使用时要明确是哪个 $g$
• 对于其他星球，$g$ 是该星球表面的重力加速度

---

【研究方法】

一、理想化模型

模型	实际情形	理想化处理	适用条件
质点	天体有大小和形状	忽略大小，视为质量集中在质心的点	研究天体的平动，或天体间距远大于天体直径
匀速圆周运动	行星轨道是椭圆	将椭圆近似为圆	椭圆离心率很小（太阳系行星均满足）
均匀球体	实际天体密度分布不均匀	假设密度均匀、球对称	很多天体的密度分布近似球对称

方法论意义：理想化模型是物理学研究的基本方法。通过抓住主要因素、忽略次要因素建立简化模型，使复杂问题得以解决。

二、近似处理

近似	依据	误差分析
椭圆 → 圆	行星轨道 $e<0.1$	地球 $e=0.017$，误差 $<0.03\mathrm{\%}$
忽略自转影响	$m\omega ²R/mg\approx 1/289$	误差约 0.3%
黄金代换 $GM=gR²$	忽略自转和高度变化	地面附近适用，高空需修正

三、模型统一性分析

物理系统	核心规律	数学描述
地面物体下落	万有引力	$F=GMm/R^2=mg$
月球绕地球	万有引力提供向心力	$F=GMm/r^2=m(4{\pi }^2/T^2)r$
人造卫星绕地球	万有引力提供向心力	$F=GMm/r^2=m{v}^2/r$
行星绕太阳	万有引力提供向心力	$F=GMm/r^2=m(4{\pi }^2/T^2)r$
双星系统	两体相互引力提供各自向心力	$F=G{m}_1{m}_2/L^2=m_1{\omega }^2{r}_1=m_2{\omega }^2{r}_2$

说明：上述系统均遵循万有引力定律，具有统一的数学结构。从地面物体到天体运动，引力作用的规律是一致的。

四、数理结合

数学工具	物理应用
牛顿第二定律 $F=ma$	建立天体运动的动力学方程
向心力公式 $F=mv²/r$	描述圆周运动
开普勒第三定律 $a³/T²=k$	建立轨道参量关系
比例法	快速比较不同天体的运动参量
能量守恒	分析变轨过程中的能量变化

五、对称性思想

对称性	体现
空间各向同性	万有引力沿连线方向，只与距离有关
时间平移对称性	行星运动的规律不随时间改变
牛顿第三定律的对称性	$m_1$ 吸引 $m_2$ 的力等于 $m_2$ 吸引 $m_1$ 的力

---

【示意图】

一、行星椭圆轨道示意图

                  远日点 A
                     *
                    / \
                   /   \     太阳S在一焦点上
                  /  C  \    C = 椭圆中心
                 /   *   \
                *----+----*  ← 长轴 2a
               /    |O    \
              /     |      \
             /      *       \
            *-----------------*
           近日点 P         （O = 另一焦点）

    PA = 2a（长轴），SC = c（焦距），e = c/a（离心率）
    SP + SA = 2a（椭圆定义：到两焦点距离之和为常数）

标注：

• 太阳位于椭圆的一个焦点S上
• 近日点P：行星距太阳最近，速度最大
• 远日点A：行星距太阳最远，速度最小
• 椭圆中心C到太阳的距离为 $c=ae$

二、面积速度守恒示意图

        太阳S
          *
         /|\
        / | \
       /  |  \     Δt 时间内扫过的扇形面积
      /  ΔA  \    ΔA = (1/2) × r × v_⊥ × Δt = 常量
     /   |    \
    *----+-----*  行星
        v_⊥

三、卫星轨道示意图

    地球（中心）
        * 
        | \
        |  \  低轨道（r小，v大）
        |   *-----------*
        |              /
        |   中轨道     /
        |  *---------*/
        | /         /
        |/  同步轨道 /  T = 24h
        *----------/
       /          /
      / 高轨道   /   r大，v小，T大
     *---------*/

四、变轨过程速度变化图

    速度 v
      |
  v近 │*                    *  近地点（椭圆）
      |  *                *
      |    *            *
      |      *        *
 v低圆│........*....*........ 低圆轨道
      |           * *
      |          *   *
      |         *     *
      |        *       *
      |       *         *
      |      *           *
  v高圆│.....*.............. 高圆轨道
      |    *
      |   * 远地点（椭圆）
  v远 │  *
      |
      +---------------------------→ 位置（距地心距离）
         r低   r近   r远    r高

速度大小关系：$v_{\mathrm{近}}>v_{\mathrm{低}\mathrm{圆}}>v_{\mathrm{高}\mathrm{圆}}>v_{\mathrm{远}}$

五、宇宙速度示意图

        轨迹类型
        /    |    \
       /     |     \
      /   抛物线    \    v = v₂（第二宇宙速度）
     /    （脱离）   \
    /                 \
   /    椭圆轨道       \   v₁ < v < v₂
  /    （地球卫星）      \
 /                       \
*-----------*-------------*  圆轨道  v = v₁（第一宇宙速度）
 \         / \           /  （最大环绕速度）
  \       /   \         /
   \    椭圆   \       /   v < v₁（落回地面）
    \  （下落） \     /
     \          \   /
      \          \ /
       \    双曲线 \      v > v₂（脱离太阳系，v ≥ v₃）
        \  （逃逸） \
         \          \

六、双星运动示意图

    m₁                 质心O                  m₂
     *------------------*--------------------*
      \                |\                  /
       \      r₁       | \       r₂       /
        \    ←———→     |  \    ←———→    /
         \             |   \           /
          \            |    \         /
           * 圆周轨道  |     * 圆周轨道
            \          |      /
             \         |     /
              \        |    /
               \       |   /
                \      |  /
                 \     | /
                  \    |/
                   \   *
                    \  |
                     \ |
                      \|
                       *
                    （俯视图：两星绕质心转动，角速度相同）

    关系：m₁r₁ = m₂r₂，r₁ + r₂ = L，ω₁ = ω₂ = ω

七、三种圆周运动对比图

    地球自转轴
        ↑
        │     同步卫星（赤道上空，与地球同ω）
        │        *
        │       /|
        │      / |
        │     /  |
        │    /   |
        │   /    |
        │  /     |
        │ /   θ  |
        *────────┼────→ 赤道上的物体（随地球自转）
       / \      *│
      /   \    / |
     /     \  /  |
    *───────*───│──── 地面
   近地卫星      R
   （万有引力=向心力）

    对比：
    - 赤道物体：受万有引力和支持力，ω = ω_地
    - 近地卫星：只受万有引力，F引 = F向
    - 同步卫星：只受万有引力，F引 = F向，ω = ω_地

---

【公式汇总】

公式名称	公式	适用条件
万有引力定律	$F=G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r²}}$	质点或均匀球体
黄金代换	$GM=gR²$	不考虑自转，地面附近
向心力方程	$G{\displaystyle \frac{Mm}{r²}}=m{\displaystyle \frac{v²}{r}}=m\omega ²r=m{\displaystyle \frac{4\pi ²}{T²}}r$	圆轨道卫星
线速度	$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{gR²}{r}}}$	圆轨道
角速度	$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r³}}}$	圆轨道
周期	$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r³}{GM}}}$	圆轨道/椭圆（$r\to a$）
向心加速度	$a={\displaystyle \frac{GM}{r²}}$	只由位置决定
第一宇宙速度	$v_1=\sqrt{gR}\approx 7.9$ km/s	近地圆轨道
第二宇宙速度	$v_2=\sqrt{2}{v}_1\approx 11.2$ km/s	脱离地球
第三宇宙速度	$v_3\approx 16.7$ km/s	脱离太阳系
中心天体质量	$M={\displaystyle \frac{4\pi ²r³}{GT²}}$	已知环绕天体 $r$、$T$
天体密度（近地）	$\rho ={\displaystyle \frac{3\pi }{GT²}}$	近地卫星
天体密度（一般）	$\rho ={\displaystyle \frac{3\pi r³}{GT²R³}}$	一般卫星
双星总质量	$m_1+m_2={\displaystyle \frac{4\pi ²L³}{GT²}}$	双星系统
机械能	$E=-{\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$	圆轨道
重力加速度（高空）	$g_h=g_0\left({\displaystyle \frac{R}{R+h}}\right)²$	$h$ 为距地面高度
时间膨胀	$\mathrm{\Delta }t={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{t}_0}{\sqrt{1-v²/c²}}}$	狭义相对论
长度收缩	$l=l_0\sqrt{1-v²/c²}$	狭义相对论
质能方程	$E=mc²$	狭义相对论

---

【本章小结】

核心脉络

观测（第谷）→ 经验规律（开普勒）→ 理论（牛顿万有引力）→ 应用（宇宙航行）→ 发展（相对论）

三大核心模型

1. 万有引力提供向心力：$G{\displaystyle \frac{Mm}{r²}}=m{\displaystyle \frac{v²}{r}}$ ——解决一切圆周运动天体问题
2. 黄金代换：$GM=gR²$ ——连接天体参数与地面可测量
3. 开普勒第三定律：${\displaystyle \frac{a³}{T²}}={\displaystyle \frac{GM}{4\pi ²}}$ ——连接轨道大小与周期

四条结论

1. "高轨低速大周期"：$r$ 越大，$v$、$\omega$、$a$ 越小，$T$ 越大
2. $r$ 减小时，$v$、$\omega$、$a$ 增大，$T$ 减小
3. 轨道越高，机械能越大：$E=-{\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$（负得更少）
4. 变轨加速升轨，减速降轨：但需要能量投入

五个易错点

1. $r$ 是球心距，不是高度
2. 第一宇宙速度是最小发射速度、最大环绕速度
3. 万有引力公式只适用于质点或球体
4. 同步卫星必须在赤道上空
5. 密度公式 $\rho ={\displaystyle \frac{3\pi }{GT²}}$ 仅适用于近地卫星

---

本章总结：本章内容涵盖从托勒密的本轮-均轮模型到哥白尼的日心说，从开普勒的行星运动定律到牛顿的万有引力定律，从卡文迪什实验测定引力常量到LIGO探测引力波的发展历程。万有引力定律作为经典力学的核心成就之一，其适用范围为宏观、低速、弱引力条件；在高速或强引力场条件下需由相对论修正。

---

本笔记依据人教版（2019版）高中物理必修第二册第七章编写建议配合教材、课堂笔记和习题练习使用