第三章：函数的概念与性质

本章定位：函数是高中数学的核心概念。从本章开始，我们将从初中的"变量依赖关系"提升到高中的"对应法则"视角，建立严格的函数语言体系。这一语言将贯穿高中数学的始终——数列是特殊的函数，三角函数是函数的延伸，导数研究函数的性态，概率中的分布函数亦以函数为基础。

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3.1 函数的概念及其表示

【概念演进】函数概念的三次发展

1. 变量说（17世纪）："依赖关系"的朴素理解

函数概念的发展始于17世纪。伽利略研究自由落体运动时，发现路程 $s$ 与时间 $t$ 之间存在关系 $s=\frac{1}{2}g{t}^2$。牛顿、莱布尼茨时代的数学家们将函数理解为变量之间的依赖关系——当一个量变化时，另一个量随之变化。

这种观点直观、自然，对物理学的发展起到重要作用。但其缺陷在于缺乏严格性。

思考题：狄利克雷函数 $D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\text{ 为有理数}\\ 0,& x\text{ 为无理数}\end{array}$ 在任何点都不连续，图像也无法画出。用"变量说"能描述它吗？当 $x$ 在有理数与无理数之间变动时，$D(x)$ 在 $0$ 和 $1$ 之间跳跃，并非"连续变化"，这表明"变量说"无法刻画此类函数。

2. 对应说（19世纪中叶）：狄利克雷的现代定义

1837年，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）给出了至今仍被广泛使用的定义：

如果对于给定区间上的每一个 $x$ 的值，都有唯一确定的 $y$ 的值与之对应，那么 $y$ 就是 $x$ 的函数。

这个定义的核心突破在于：

• 不依赖"变化"的动态理解，而是静态的"对应"关系
• 不关心对应法则是否连续、是否有解析式
• 即使是不连续的函数，只要满足"唯一对应"即可

3. 关系说（20世纪初）：集合论的严格表述

随着集合论的发展，函数被定义为两个集合之间的特殊关系——一个满足"单值性"的子集。用集合论的语言，函数 $f$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个映射，使得 $A$ 中每个元素在 $B$ 中都有唯一像。

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为什么高中采用"对应说"而非"关系说"？

视角	优点	缺点	高中适用性
变量说	直观，贴近物理直觉	不严谨，无法描述不连续函数	初中已用，高中需升级
对应说	兼顾直观与严谨，可操作性强	对"关系"的刻画不够彻底	最佳选择
关系说	最严谨，适用于大学分析	过于抽象，脱离直观	大学数学再用

高中选择"对应说"的原因：高一学生处于从具体运算向形式运算的过渡期，完全抽象的集合论表述会增加理解难度。"对应说"兼顾了"变量说"的直观性与"关系说"的严谨性——以"对应法则 $f$"为核心概念，既保证了每个 $x$ 对应唯一 $y$ 的严谨性，又保留了可计算性。

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【基础精讲】函数的现代定义

严格定义

设 $A$, $B$ 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 $f$，使得对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $f(x)$ 与之对应，那么就称 $f:A\to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数（function），记作

$$y=f(x),x\in A$$

其中：

• $x$ 叫做自变量（independent variable）
• $x$ 的取值范围 $A$ 叫做函数的定义域（domain）
• 与 $x$ 对应的 $y$ 值叫做函数值（function value）
• 所有函数值构成的集合 $\{f(x)\mid x\in A\}$ 叫做函数的值域（range）

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定义的三要素

函数的三要素是定义域、对应法则、值域。判断两个函数是否相同，必须同时满足定义域相同且对应法则相同（值域由前两者决定，不必单独比较）。

重要：$f(x)=x$ 与 $g(x)=\frac{x^2}{x}$ 不是同一个函数。因为定义域不同：$f$ 的定义域是 $\mathbb{R}$，$g$ 的定义域是 $\{x\mid x\ne 0\}$。

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$f(x)$ 的符号说明

函数符号 $f(x)$ 表示对应法则 $f$ 作用于自变量 $x$ 的结果。

• 对于定义域内的任意 $x$，对应法则 $f$ 确定唯一的函数值 $f(x)$
• $f(a)$ 表示函数在 $x=a$ 处的函数值
• $f(x+1)$ 表示将 $(x+1)$ 作为整体代入对应法则 $f$ 所得的结果

关键区分：$f(x)$ 表示函数本身（对应法则），$f(a)$ 表示函数在 $x=a$ 处的函数值（一个确定的数）。二者不可混淆。

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【深度理解】定义域的"天然限制"与"人为限制"

天然限制：解析式本身的要求

限制类型	具体规则	例子
分母不为零	分式的分母 $\ne 0$	$y=\frac{1}{x-2}$，则 $x\ne 2$
偶次根号内非负	被开方数 $\ge 0$	$y=\sqrt{x-1}$，则 $x\ge 1$
零次幂底数不为零	$x^0$ 要求 $x\ne 0$	$y=(x-3{)}^0$，则 $x\ne 3$
对数真数为正	${\log }_{a}x$ 要求 $x>0$（见第四章）	$y={\log }_2(x+1)$，则 $x>-1$

本质：这些限制不是"人为规定"，而是数学运算的合法性前提。例如，除法的定义就是"乘以倒数"，而 $0$ 没有倒数，所以分母不能为零。

人为限制：实际问题的约束

实际问题中的自变量往往有额外的限制：

• 例1：正方形面积 $S=a^2$，边长 $a>0$（虽然 $a^2$ 对负数也有定义，但边长不能为负）
• 例2：出租车计费 $y=\{\begin{array}{ll}10,& 0<x\le 3\\ 10+2(x-3),& x>3\end{array}$，里程 $x>0$

求定义域的原则：先找天然限制，再找人为限制，取交集。

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【隐性考点】① 抽象函数的定义域求法——复合规则

这是考试中常见的易错题型。

核心原则：定义域永远是自变量 $x$ 的取值范围；$f$ 的作用对象是括号内的整体，且括号内整体的取值范围是固定的。

题型1：已知 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$，求 $f(g(x))$ 的定义域。

解法：括号内整体的取值范围为 $[a,b]$，即 $g(x)\in [a,b]$，故 $a\le g(x)\le b$，解此不等式得 $x$ 的范围。

题型2：已知 $f(g(x))$ 的定义域为 $[m,n]$，求 $f(x)$ 的定义域。

解法：$[m,n]$ 是 $x$ 的范围，需求出 $g(x)$ 在 $x\in [m,n]$ 时的值域，该值域即为 $f(x)$ 的定义域。

经典例题：已知 $f(x)$ 的定义域为 $[0,2]$，求 $f(2x-1)$ 的定义域。

解析：括号内整体的取值范围为 $[0,2]$，即 $0\le 2x-1\le 2$，解得 $\frac{1}{2}\le x\le \frac{3}{2}$。定义域为 $[\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$。

逆向例题：已知 $f(2x-1)$ 的定义域为 $[0,2]$，求 $f(x)$ 的定义域。

解析：$x\in [0,2]$，则 $2x-1\in [-1,3]$，即 $f(x)$ 的定义域为 $[-1,3]$。

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函数的表示法

1. 解析法（公式法）

用数学表达式表示函数关系。

• 优点：精确、便于计算和推理
• 缺点：不直观，有些函数没有解析式

2. 图像法

在坐标系中画出点 $(x,f(x))$ 的集合。

• 优点：直观，一目了然
• 缺点：不够精确，依赖绘图水平

重要判定：一个图像是否表示函数，用垂直检验法——任何垂直于 $x$ 轴的直线与图像最多有一个交点。这是"单值性"的几何体现。

3. 列表法

用表格列出 $x$ 与 $f(x)$ 的对应值。

• 优点：直接、无需计算
• 缺点：只能表示有限个值

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【基础精讲】分段函数

在定义域的不同区间上，对应法则不同的函数，叫做分段函数（piecewise function）。

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x),& x\in D_1\\ f_2(x),& x\in D_2\\ ⋮\\ f_n(x),& x\in D_n\end{array}$$

其中 $D_1,D_2,\dots ,D_n$ 互不相交，且并集为整个定义域。

分段函数是一个函数，不是几个函数。分段函数是在定义域的不同区间上用不同解析式表示的函数。

经典例子：绝对值函数

$$f(x)=|x|=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 0\\ -x,& x<0\end{array}$$

分段函数的"整体性分析"

研究分段函数时，容易只关注某一段而忽视整体的性质。

分析分段函数的关键步骤：

1. 定义域的完整性：各段定义域是否覆盖了全部？分界点是否重复或遗漏？
2. 分界点的连续性：图像在分界点处是否"断开"？（虽然连续性本章不讲，但图像直观上要注意）
3. 值域的合并：整体值域是各段值域的并集
4. 最值问题：需要在每一段上分别求最值，再比较

例题：求 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 1\\ -x+3,& x>1\end{array}$ 的最大值。

解析：第一段 $x\le 1$ 时，$f(x)=x+1\le 2$；第二段 $x>1$ 时，$f(x)=-x+3<2$。在分界点 $x=1$ 处，第一段给出 $f(1)=2$，第二段在 $x\to 1^{+}$ 时趋向 $2$。所以最大值为 $2$（在 $x=1$ 处取得）。

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【知识串联】映射观点——函数的推广

函数是数集到数集的映射。如果放宽为任意集合到任意集合的对应，就得到映射（mapping）的概念。

设 $A$, $B$ 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 $f$，使得对于 $A$ 中任意一个元素，在 $B$ 中都有唯一确定的元素与之对应，则称 $f:A\to B$ 为从 $A$ 到 $B$ 的映射。

• 当 $A$, $B$ 是数集时，映射就是函数
• 映射的概念为后续学习数列（${\mathbb{N}}^{\ast }$ 到 $\mathbb{R}$ 的映射）打下基础

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3.2 函数的基本性质

在明确函数概念之后，需进一步研究函数的性质。单调性、最值、奇偶性从不同角度刻画函数的特征。

3.2.1 单调性——函数的增减性

【背景】单调性的研究动机

在现实世界中，很多量的变化具有"越来越…"的趋势：

• 气温随时间升高或降低
• 利润随销量增加而增加（或减少）
• 速度随时间加速或减速

单调性是对这种变化规律的严格数学刻画，在后续研究函数最值、不等式证明、方程根的个数等问题中具有重要应用。

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【深度理解】单调性的严格定义

增函数的定义

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$，区间 $D\subseteq I$。如果对于任意的 $x_1,x_2\in D$，当 $x_1<x_2$ 时，都有

$$f(x_1)<f(x_2)$$

那么就称函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上是单调递增的（increasing），区间 $D$ 称为 $f(x)$ 的单调递增区间。

减函数的定义

如果对于任意的 $x_1,x_2\in D$，当 $x_1<x_2$ 时，都有

$$f(x_1)>f(x_2)$$

那么就称函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上是单调递减的（decreasing）。

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对定义中"$\mathrm{\forall }$"量词的深度解读

这个定义中有三个关键要素，缺一不可：

要素	含义	去掉会怎样
任意性 ($\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in D$)	必须对所有点都成立，不能只是"大部分"	若只要求存在一对，无法刻画趋势
有序性 ($x_1<x_2$)	必须先规定大小顺序	否则无法比较 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$
严格性 ($f(x_1)<f(x_2)$)	严格小于，而非小于等于	若允许等于，则出现"不减"而非"递增"

"任意性"是核心：单调性不是"存在某对点满足大小关系"，而是"所有点都服从这一规律"。这意味着，只要区间内有两点的函数值"违反"了递增规律，整个区间就不是单调递增区间。

非严格单调：如果定义中改为 $f(x_1)\le f(x_2)$，则称为单调不减。高中一般研究严格单调。

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【思想方法】单调性证明的"标准模板"

证明函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上单调递增的标准四步法：

第一步：取值——任取 $x_1,x_2\in D$，且设 $x_1<x_2$

第二步：作差——计算 $f(x_1)-f(x_2)$

第三步：变形——对差值进行因式分解、配方、通分等变形，化为易于判断符号的形式

第四步：定号——判断 $f(x_1)-f(x_2)$ 的符号，得出结论

作差的依据：要比较 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的大小，等价于判断 $f(x_1)-f(x_2)$ 与 $0$ 的大小。这是将"大小比较"转化为"与零比较"的化归思想。

例题：证明 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 在 $(1,+\mathrm{\infty })$ 上单调递增。

证明：任取 $x_1,x_2\in (1,+\mathrm{\infty })$，且 $x_1<x_2$。

$$f(x_1)-f(x_2)=(x_1+\frac{1}{x_1})-(x_2+\frac{1}{x_2})=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1{x}_2}$$

$$=(x_1-x_2)(1-\frac{1}{x_1{x}_2})=(x_1-x_2)\cdot \frac{x_1{x}_2-1}{x_1{x}_2}$$

因为 $x_1<x_2$，所以 $x_1-x_2<0$。 因为 $x_1,x_2>1$，所以 $x_1{x}_2>1$，即 $x_1{x}_2-1>0$，且 $x_1{x}_2>0$。 因此 $f(x_1)-f(x_2)<0$，即 $f(x_1)<f(x_2)$。

所以 $f(x)$ 在 $(1,+\mathrm{\infty })$ 上单调递增。

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【易错警示】单调区间不能用"并集"符号连接

经典错误：$f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(-\mathrm{\infty },0)$ 上递减，在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上也递减，所以有人写成"在 $(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$ 上递减"。

错在哪里？ 取 $x_1=-1$，$x_2=1$，虽然 $x_1<x_2$，但 $f(x_1)=-1<f(x_2)=1$，这不满足递减的定义。

根本原因：递减定义要求"任取 $x_1,x_2\in D$"。如果 $D=(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$，那么 $x_1$ 可以取负数、$x_2$ 可以取正数，此时无法保证 $f(x_1)>f(x_2)$。

正确表述：$f(x)=\frac{1}{x}$ 的单调递减区间是 $(-\mathrm{\infty },0)$ 和 $(0,+\mathrm{\infty })$，或者说"在 $(-\mathrm{\infty },0)$ 和 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上分别单调递减"。不能用并集符号 $\cup$ 连接。

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3.2.2 函数的最值

定义

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$，如果存在实数 $M$ 满足：

(1) 最大值：

• $\mathrm{\forall }x\in I$，都有 $f(x)\le M$
• $\mathrm{\exists }{x}_0\in I$，使得 $f(x_0)=M$

则称 $M$ 为函数 $f(x)$ 的最大值（maximum value）。

(2) 最小值：

• $\mathrm{\forall }x\in I$，都有 $f(x)\ge m$
• $\mathrm{\exists }{x}_0\in I$，使得 $f(x_0)=m$

则称 $m$ 为函数 $f(x)$ 的最小值（minimum value）。

注意：最值定义中的两个条件缺一不可。

• 只有"$f(x)\le M$"，$M$ 可能只是上界而非最大值（如 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上，$f(x)>0$，但 $0$ 不是最小值，因为永远达不到）
• 只有"$f(x_0)=M$"，$M$ 可能只是某个函数值而非最大（还需要所有其他值都不超过它）

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单调性与最值的关系

函数在闭区间 $[a,b]$ 上的单调性	最大值	最小值
单调递增	$f(b)$	$f(a)$
单调递减	$f(a)$	$f(b)$

前提：必须在闭区间 $[a,b]$ 上连续且单调。如果是开区间，最值可能不存在（如 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上既无最大值也无最小值）。

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3.2.3 奇偶性——对称美的代数刻画

【背景】奇偶性的研究动机

对称性是数学研究中的重要性质。若函数图像具有对称性，则其代数表达式必然满足特定的恒等关系。

从实用角度，如果一个函数具有对称性，那么：

• 只需研究 $x\ge 0$（或 $x\le 0$）部分，另一部分由其对称性确定
• 可以简化很多计算（如定积分、方程求解）

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【深度理解】奇偶性的严格定义

偶函数

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，如果对于任意 $x\in D$，都有 $-x\in D$，且

$$f(-x)=f(x)$$

那么函数 $f(x)$ 就叫做偶函数（even function）。

几何意义：偶函数的图像关于 $y$ 轴对称。

奇函数

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，如果对于任意 $x\in D$，都有 $-x\in D$，且

$$f(-x)=-f(x)$$

那么函数 $f(x)$ 就叫做奇函数（odd function）。

几何意义：奇函数的图像关于原点对称。

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【深度理解】对称本质的代数表达

轴对称（以 $y$ 轴为例）：

图像关于 $y$ 轴对称，意味着点 $(x,y)$ 在图像上 $\iff$ 点 $(-x,y)$ 也在图像上。

即 $y=f(x)\iff y=f(-x)$，所以 $f(-x)=f(x)$。此即偶函数的定义。

中心对称（以原点为例）：

图像关于原点对称，意味着点 $(x,y)$ 在图像上 $\iff$ 点 $(-x,-y)$ 也在图像上。

即 $y=f(x)\iff -y=f(-x)$，所以 $f(-x)=-y=-f(x)$。此即奇函数的定义。

推广：一般的轴对称 $x=a$ 满足 $f(a+x)=f(a-x)$；一般的中心对称 $(a,b)$ 满足 $f(a+x)+f(a-x)=2b$。这些是奇偶性的自然推广，在后续学习中会频繁遇到。

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【隐性考点】③ 奇函数在 $x=0$ 处的隐含条件

关键结论：如果奇函数 $f(x)$ 的定义域包含 $0$（即 $0\in D$），则必有

$$f(0)=0$$

证明：由奇函数定义，$f(-0)=-f(0)$，即 $f(0)=-f(0)$，所以 $2f(0)=0$，得 $f(0)=0$。

考试中的应用：

• 已知 $f(x)$ 是奇函数，且 $f(x)=x^2+ax+b$（$x>0$），求参数时，往往需要用 $f(0)=0$ 和 $f(-1)=-f(1)$ 建立方程组
• 判断一个函数是否可能为奇函数时，先检查定义域是否关于原点对称，再检查 $f(0)$ 是否为 $0$

重要：如果定义域不包含 $0$，则 $f(0)=0$ 不适用。例如 $f(x)=\frac{1}{x}$ 是奇函数，但定义域为 $(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$，不包含 $0$，此时不存在 $f(0)$。

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【易错警示】② 判断奇偶性时忽略定义域是否关于原点对称

判断奇偶性的第一步：先看定义域是否关于原点对称。

条件	结论
定义域不关于原点对称	既不是奇函数也不是偶函数（非奇非偶）
定义域关于原点对称，且 $f(-x)=f(x)$	偶函数
定义域关于原点对称，且 $f(-x)=-f(x)$	奇函数
定义域关于原点对称，且两者都满足	既是奇函数又是偶函数（只有 $f(x)=0$）

典型反例：$f(x)=x^2$，$x\in [-1,2]$。虽然 $f(-x)=f(x)$ 对 $x\in [-1,1]$ 成立，但因为定义域 $[-1,2]$ 不关于原点对称（$2$ 在里面但 $-2$ 不在），所以 $f(x)$ 不是偶函数。

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【知识串联】单调性 + 奇偶性 → 函数值大小比较

核心技巧：利用奇偶性将不同区间的函数值转化到同一单调区间上比较。

例题：已知偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上单调递减，比较 $f(-3)$, $f(2)$, $f(1)$ 的大小。

解析：由偶函数性质，$f(-3)=f(3)$。因为 $f(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上递减，且 $1<2<3$，所以 $f(1)>f(2)>f(3)=f(-3)$。

结论：$f(1)>f(2)>f(-3)$

例题：已知奇函数 $f(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上单调递增，判断 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },0)$ 上的单调性。

解析：任取 $x_1<x_2<0$，则 $-x_1>-x_2>0$。因为 $f(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上递增，所以 $f(-x_1)>f(-x_2)$。由奇函数性质，$-f(x_1)>-f(x_2)$，即 $f(x_1)<f(x_2)$。所以 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },0)$ 上也单调递增。

结论：奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性。

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奇偶函数的运算性质

运算	结果	备注
奇 + 奇	奇	定义域交集须对称
偶 + 偶	偶	定义域交集须对称
奇 $\times$ 奇	偶
偶 $\times$ 偶	偶
奇 $\times$ 偶	奇
$f(|x|)$	偶	无论 $f$ 是何函数

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3.3 幂函数

【背景】幂函数的命名与范围

幂函数 $y=x^{\alpha }$ 以统一的运算形式（底数的常数次方）涵盖了以下常见函数：

• $\alpha =1$：$y=x$（正比例函数，一次函数）
• $\alpha =2$：$y=x^2$（二次函数）
• $\alpha =3$：$y=x^3$
• $\alpha =-1$：$y=\frac{1}{x}$（反比例函数）
• $\alpha =\frac{1}{2}$：$y=\sqrt{x}$

幂函数是多项式函数和根式函数的统一框架，也是后续学习指数函数 $a^x$ 和对数函数 ${\log }_{a}x$ 的基础——三者合称"基本初等函数"。

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【基础精讲】幂函数的定义

一般地，函数

$$y=x^{\alpha }$$

叫做幂函数（power function），其中 $x$ 是自变量，$\alpha$ 是常数。

重要区分：

• 幂函数 $y=x^{\alpha }$：底数是变量，指数是常数
• 指数函数 $y=a^x$（第四章）：底数是常数，指数是变量
• 两者截然不同，不可混淆。

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【深度理解】常见幂函数的图像与性质

$y=x$（$\alpha =1$）

性质	内容
定义域	$\mathbb{R}$
值域	$\mathbb{R}$
单调性	在 $\mathbb{R}$ 上单调递增
奇偶性	奇函数
图像	过原点和 $(1,1)$ 的直线

$y=x^2$（$\alpha =2$）

性质	内容
定义域	$\mathbb{R}$
值域	$[0,+\mathrm{\infty })$
单调性	在 $(-\mathrm{\infty },0]$ 递减，在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 递增
奇偶性	偶函数
图像	抛物线，开口向上，顶点在原点

$y=x^3$（$\alpha =3$）

性质	内容
定义域	$\mathbb{R}$
值域	$\mathbb{R}$
单调性	在 $\mathbb{R}$ 上单调递增
奇偶性	奇函数
图像	过原点和 $(1,1)$ 的曲线，在 $x>0$ 时比 $y=x$ 增长更快

$y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$（$\alpha =\frac{1}{2}$）

性质	内容
定义域	$[0,+\mathrm{\infty })$
值域	$[0,+\mathrm{\infty })$
单调性	在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上单调递增
奇偶性	非奇非偶（定义域不关于原点对称）
图像	从原点出发向右上方延伸的曲线

$y=x^{-1}=\frac{1}{x}$（$\alpha =-1$）

性质	内容
定义域	$(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$
值域	$(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$
单调性	在 $(-\mathrm{\infty },0)$ 递减，在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 递减
奇偶性	奇函数
图像	双曲线，关于原点对称

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【深度理解】幂函数在第一象限的共同特征

所有幂函数 $y=x^{\alpha }$ 的图像都过定点 $(1,1)$。这是因为对任意 $\alpha$，$1^{\alpha }=1$。

在第一象限内（$x>0$）：

$\alpha$ 的范围	图像特征	单调性
$\alpha >1$	图像在 $y=x$ 上方，下凸	递增，增长越来越快
$\alpha =1$	直线 $y=x$	递增
$0<\alpha <1$	图像在 $y=x$ 下方，上凸	递增，增长越来越慢
$\alpha =0$	水平直线 $y=1$（$x\ne 0$）	不增不减
$\alpha <0$	图像类似反比例函数	递减

总结：$\alpha >0$ 时在第一象限单调递增，$\alpha <0$ 时单调递减；$|\alpha |$ 越大增长（或衰减）越快；所有图像均过定点 $(1,1)$。

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【知识串联】幂函数与后续指数/对数函数的关系

函数类型	表达式	变量位置	核心特征
幂函数	$y=x^{\alpha }$	底数变	不同 $\alpha$ 对应不同"曲率"
指数函数	$y=a^x$	指数变	快速增长或衰减
对数函数	$y={\log }_{a}x$	真数变	指数函数的反函数

三者的内在联系：

• 幂函数和指数函数都源于"乘方"运算，只是固定对象不同
• 对数函数是指数函数的反函数（第五章学习）
• 三者加上三角函数，构成基本初等函数，是微积分的研究对象

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【思想方法】幂函数图像的"分类讨论"思想

画幂函数图像时，需要根据指数 $\alpha$ 的不同取值进行分类讨论：

1. 先判断定义域：$\alpha$ 为负整数或分数时，定义域受限
2. 再判断奇偶性：决定图像的对称性
3. 最后看第一象限：根据 $\alpha$ 与 $0$、$1$ 的大小关系确定图像形态
4. 利用对称性补全：奇函数关于原点对称补全，偶函数关于 $y$ 轴对称补全

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3.4 函数的应用（一）

【概述】数学建模的基本流程

函数的应用本质上是数学建模的初步实践：

实际问题 → 抽象简化 → 建立函数模型 → 数学求解 → 解释回归

这个过程的难点不在于计算，而在于将自然语言转化为数学语言。

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【基础精讲】常见实际问题的函数模型

1. 一次函数模型

$$y=kx+b(k\ne 0)$$

• 适用：匀速变化、均匀增长/减少的问题
• 例子：出租车计费、电话费、水费阶梯计价的基础部分

2. 二次函数模型

$$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$$

• 适用：面积最大化、利润最大化、抛物线运动
• 核心工具：配方法求顶点，确定最值

3. 反比例函数模型

$$y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$$

• 适用：速度与时间（路程固定）、浓度问题、工程问题
• 特征：一个量增大，另一个量减小，乘积为常数

4. 分段函数模型

• 适用：阶梯计价、不同区间规则不同的问题
• 关键：找准分界点，逐段分析

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【思想方法】函数与方程思想

函数与方程的联系：

方程 $f(x)=0$ 的根 $\iff$ 函数 $y=f(x)$ 图像与 $x$ 轴交点的横坐标

方程 $f(x)=g(x)$ 的根 $\iff$ 函数 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 图像交点的横坐标

这种"数形结合"的观点，将抽象的代数问题转化为直观的几何问题，是高中数学最核心的思想方法之一。

不等式 $f(x)>0$ 的解集 $\iff$ 函数 $y=f(x)$ 图像在 $x$ 轴上方的部分对应的 $x$ 范围

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【深度理解】实际问题建模的"四步曲"

第一步：审题——提取关键信息

• 找出变量：谁是自变量，谁是因变量
• 找出约束：定义域的"人为限制"
• 找出关系：变量之间如何相互决定

第二步：建模——建立函数关系

• 设自变量为 $x$，因变量为 $y$
• 根据题意写出 $y=f(x)$ 的表达式
• 明确定义域

第三步：求解——数学分析

• 利用函数性质（单调性、最值）求解
• 必要时借助图像

第四步：回归——检验与作答

• 检查结果是否符合实际意义
• 注意单位、精度、取整等实际问题要求

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本章综合：隐性考点与易错警示汇编

【隐性考点】深度盘点

考点1：抽象函数定义域的复合规则

本质：对于同一对应法则 $f$，括号内整体的取值范围是固定的。无论输入的是 $x$、$2x-1$ 还是 $x^2$，这些代数式的值域都必须落在 $f$ 的定义域内。

要点：括号内范围不变，$x$ 的范围需换算。

考点2：分段函数的整体性分析

• 分段函数整体只有一个值域（各段值域的并集）
• 分段函数的最值要在各段分别求，再整体比较
• 分段函数在分界点处的函数值只能由一个表达式确定（定义上已规定归属）

考点3：奇函数 $f(0)=0$ 的妙用

• 适用前提：定义域包含 $0$
• 用途：求参数、验证、简化计算
• 推广：若 $f(x)$ 是奇函数且 $f(a)=0$，则 $f(-a)=0$

考点4：单调性的"逆向应用"

已知 $f(x)$ 递增，则

$$f(x_1)<f(x_2)\iff x_1<x_2$$

这是利用单调性去掉对应法则 $f$，直接比较自变量的理论基础。

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【易错警示】认知根源分析

易错1：$f(x)$ 与 $f(a)$ 的混淆

概念	本质	说明
$f(x)$	函数本身（对应法则）	自变量为 $x$ 时的对应关系
$f(a)$	函数值（一个确定的数）	$x=a$ 时的函数值
$f(g(x))$	复合函数	以 $g(x)$ 为中间变量的函数

典型错误：已知 $f(x)=x^2+1$，求 $f(x+1)$ 时，错误地写成 $f(x+1)=(x+1{)}^2+1=x^2+2x+2$，然后不知道下一步怎么做。

正确理解：$f(x+1)=(x+1{)}^2+1$ 本身就是答案——它表示将 $(x+1)$ 作为整体代入对应法则 $f$ 所得的结果。

易错2：判断奇偶性忽略定义域对称性

认知根源：把"代数形式满足 $f(-x)=f(x)$"当成唯一标准，忘记了定义域是函数三要素之一。

纠正：判断奇偶性的第一步永远是看定义域。定义域不对称，直接判定"非奇非偶"。

易错3：单调区间用并集连接

认知根源：把"在 $A$ 上递减，在 $B$ 上也递减"等同于"在 $A\cup B$ 上递减"，混淆了逐区间成立与整体成立的区别。

纠正：单调性是区间性质，不是点性质。两个不相交的区间即使各自单调，也不能"合并"。

易错4：求定义域时遗漏限制条件

典型遗漏：

• 实际问题中变量的正负性（如边长、面积）
• 复合函数的层层限制
• 零次幂 $x^0$ 中 $x\ne 0$（容易被忽略）

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【思想方法】本章核心数学思想总结

1. 数形结合思想

核心：利用图像分析代数性质，利用代数方法解决几何问题

• 函数图像直观地展示单调性、奇偶性、最值
• 方程的根 $\leftrightarrow$ 图像的交点
• 不等式的解集 $\leftrightarrow$ 图像的位置关系

本章应用：利用奇偶性简化图像绘制；利用图像判断单调区间；利用图像理解分段函数的整体形态。

2. 转化与化归思想

核心：将陌生问题转化为熟悉问题

• 复合函数定义域 $\to$ 解不等式问题
• 函数值大小比较 $\to$ 自变量大小比较（利用单调性）
• 抽象函数问题 $\to$ 赋值法、特殊化

本章应用：证明单调性时的"作差法"——将大小比较转化为与零比较。

3. 分类讨论思想

核心：将复杂问题分解为若干子问题分别解决

• 分段函数：按区间分段讨论
• 幂函数：按指数 $\alpha$ 的不同范围分类
• 含参数的函数：按参数的不同取值讨论单调性

本章应用：幂函数图像的分类；分段函数的最值求解；含参数函数的单调性判定。

4. 函数与方程思想

核心：用函数的观点看方程和不等式

• 方程 $f(x)=0$ $\iff$ 函数 $y=f(x)$ 的零点
• 不等式 $f(x)>0$ $\iff$ 图像在 $x$ 轴上方
• 参数问题 $\iff$ 图像交点个数问题

本章应用：判断方程解的个数；求参数的取值范围。

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本章知识网络图

                    函数的概念与性质
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        ┌──────────────────┼──────────────────┐
        │                  │                  │
    3.1 函数概念       3.2 基本性质        3.3 幂函数
        │                  │                  │
   ┌────┴────┐       ┌─────┼─────┐            │
   │         │       │     │     │        ┌───┴───┐
 定义域   对应法则  单调性  最值  奇偶性   常见幂函数  图像性质
   │         │       │     │     │            │
   │    分段函数    │     │     │            │
   │         │       │     │     │            │
   └─────────┴───────┴─────┴─────┴────────────┘
                           │
                    3.4 函数应用
                           │
                    数学建模 + 数形结合

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附录：本章核心公式与结论速查

函数三要素

• 定义域 + 对应法则 + 值域
• 两函数相等 $\iff$ 定义域相同且对应法则相同

单调性

• $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$：递增
• $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$：递减
• 单调区间不能用 $\cup$ 连接

奇偶性

• $f(-x)=f(x)$：偶函数（关于 $y$ 轴对称）
• $f(-x)=-f(x)$：奇函数（关于原点对称）
• 判断先查定义域是否对称
• 奇函数且 $0\in$ 定义域 $\Rightarrow f(0)=0$

幂函数 $y=x^{\alpha }$

• 过定点 $(1,1)$
• $\alpha >0$：过原点，在第一象限递增
• $\alpha <0$：不过原点，在第一象限递减
• $\alpha >1$：下凸增长快；$0<\alpha <1$：上凸增长慢

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本章总结：函数是贯穿高中数学的核心概念。本章建立的概念框架（定义域优先、对应法则为本、单调性和奇偶性刻画形态）将在后续章节反复出现。应扎实理解每一个定义的数学内涵与逻辑基础，而非仅仅记住结论。掌握函数的代数表达与几何图像之间的对应关系，是学好高中数学的关键。