第七章 复数

本章定位：复数是高中数学"数与代数"领域的重要内容，连接代数、几何与三角函数。本章内容为高等数学中的复变函数、电路分析、量子力学等课程提供必要的预备知识。

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一、数系扩充的历史进程

1.1 数系扩充的背景与动因——方程求根

人类对数的认识与方程求解密切相关。每一次数系扩充，均源于已有数系对特定运算不封闭。

数系	引入时间	核心方程	引入原因
自然数 $\mathbb{N}$	远古	$x+1=2$	计数、排序
整数 $\mathbb{Z}$	~公元前	$x+5=2$	减法封闭性
有理数 $\mathbb{Q}$	~公元前5世纪	$2x=1$	除法封闭性
实数 $\mathbb{R}$	~公元前5世纪	$x^2=2$	开方运算、度量
复数 $\mathbb{C}$	16世纪	$x^2=-1$	代数基本定理

数系扩充的数学本质：数系扩充的终极目标是运算封闭性。自然数对减法不封闭，故扩充为整数；整数对除法不封闭，故扩充为有理数；有理数对开方运算不封闭，故扩充为实数。实数对开方运算仍不封闭（例如负数不能开平方），因此需要进一步扩充。

1.2 虚数单位 $i$ 的引入——从方程无解到存在解

在实数范围内，方程 $x^2+1=0$ 无解。为使二次方程理论具有统一性与完备性，需要引入新的数系。

历史进程：

• 1545年，意大利数学家卡尔达诺在《大术》中首次遇到不可约情形：解方程时出现形如 $\sqrt{-121}$ 的表达式，他称之为"诡辩的量"。
• 1637年，笛卡尔在《几何学》中给这种数起名为虚数（imaginary number）。
• 1748年，欧拉首次用字母 $i$ 表示 $\sqrt{-1}$。
• 1797年，韦塞尔首次给出复数的几何解释。
• 1806年，阿尔冈完善了复平面。
• 1831年，高斯系统建立复数理论，提出复数这一名称（complex number）。

高斯的洞见：将 $i$ 视为一个满足 $i^2=-1$ 的符号，考察该体系是否具有自洽性。在复数域中，$n$ 次多项式方程恰好有 $n$ 个根（代数基本定理），复数域实现了代数方程的完全封闭。

1.3 引入虚数单位 $i$ 的数学依据

引入虚数单位 $i$ 的数学依据包含以下三方面：

1. 理论完备性：实系数多项式在实数域内不一定能分解为一次因式，但在复数域内一定可以分解为一次因式的乘积。
2. 运算封闭性：复数对加减乘除（除数非零）全部封闭，是包含实数的最小代数闭域。
3. 几何表示：复数与平面向量建立一一对应，乘除运算对应旋转与伸缩变换，为几何变换提供了代数工具。

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二、基础精讲：复数的严格定义

2.1 复数的代数形式

定义：形如 $z=a+bi$（其中 $a,b\in \mathbb{R}$，$i^2=-1$）的数称为复数。

• $a$ 称为 $z$ 的实部（Real part），记作 $\text{Re}(z)=a$
• $b$ 称为 $z$ 的虚部（Imaginary part），记作 $\text{Im}(z)=b$
• 当 $b=0$ 时，$z=a$ 是实数；当 $b\ne 0$ 时，$z$ 是虚数
• 当 $a=0$ 且 $b\ne 0$ 时，$z=bi$ 是纯虚数

集合关系：复数集 $\mathbb{C}$ 是实数集 $\mathbb{R}$ 的真超集（$\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$）。复数 $z=a+bi$ 由有序实数对 $(a,b)$ 唯一确定，因此复数集与 ${\mathbb{R}}^2$ 作为集合存在一一对应。

2.2 复数相等的充要条件

定理：两个复数相等，当且仅当它们的实部相等且虚部相等。

$$a+bi=c+di⟺a=c\text{ 且 }b=d$$

数学意义：

• 复数相等定义建立了 $\mathbb{C}$ 与 ${\mathbb{R}}^2$ 之间的一一对应。
• 该性质是解复数方程的理论基础。例如，若 $(x+2yi)+(3-i)=5+3i$，则分别比较实部虚部得 $x+3=5$，$2y-1=3$。
• 复数相等等价于实部与虚部分别相等的两个独立方程的联立。

2.3 复数为什么不能比较大小？

严格证明：假设复数域上可以定义全序关系 $\le$，且该序关系满足序公理（即与加减乘运算相容），则 $i$ 与 $0$ 的关系只有三种可能：

• 若 $i>0$，由序公理，正元乘以正元仍为正元，两边同乘 $i$ 得 $i^2>0$，即 $-1>0$，与实数域的序性质矛盾。
• 若 $i<0$，由序公理，负元乘以负元为正元，两边同乘 $i$ 得 $i^2>0$，即 $-1>0$，矛盾。
• 若 $i=0$，则 $i^2=0$，但 $i^2=-1$，矛盾。

结论：复数域上不能定义与代数运算相容的全序关系，因此复数之间不存在大小关系（除非两者均为实数）。

注：$|z_1|>|z_2|$ 是模的大小比较，不是复数本身的大小比较。模是实数，实数可以比较大小。

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三、复数的几何意义：复平面

3.1 复平面的建立

复数 $z=a+bi$ 与平面直角坐标系中的点 $Z(a,b)$ 一一对应。

• 横轴（$x$ 轴）称为实轴，单位是 $1$
• 纵轴（$y$ 轴）称为虚轴，单位是 $i$

复平面与坐标平面的本质区别在于：坐标平面中的点 $(a,b)$ 表示位置；而复平面中的点 $a+bi$ 表示一个可以进行四则运算的数。复平面赋予平面点以代数结构。

3.2 复数的模

定义：复数 $z=a+bi$ 的模定义为

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

几何意义：复平面上点 $Z(a,b)$ 到原点 $O$ 的距离。

模的性质：

1. $|z|\ge 0$，且 $|z|=0⟺z=0$
2. $|\overline{z}|=|z|$（共轭复数模相等）
3. $|z{|}^2=z\cdot \overline{z}$（恒等式）
4. $z=0⟺|z|=0$

3.3 复数与向量的对应

复数 $z=a+bi$ 对应平面向量 $\overrightarrow{OZ}=(a,b)$。

对应关系	复数语言	向量语言
加法	$z_1+z_2$	$\overrightarrow{O{Z}_1}+\overrightarrow{O{Z}_2}$（平行四边形法则）
减法	$z_1-z_2$	$\overrightarrow{Z_2{Z}_1}$
模	$|z|$	$|\overrightarrow{OZ}|$
数乘	$kz$（$k\in \mathbb{R}$）	$k\overrightarrow{OZ}$

注意：复数乘法在向量空间中不存在直接对应。向量的数量积与向量积均不同于复数乘法。复数乘法 $z_1\cdot z_2$ 对应模相乘、辐角相加，即旋转与伸缩的复合变换。

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四、复数的四则运算

4.1 加法与减法

代数法则：

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$

$$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

几何意义：

• 加法：平行四边形法则（或三角形法则）
• 减法：$z_1-z_2$ 对应从 $Z_2$ 指向 $Z_1$ 的向量

4.2 乘法：代数与几何表示

代数法则：

$$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

运算方法：按多项式乘法展开，将 $i^2$ 替换为 $-1$。

乘法的几何意义——旋转与伸缩

设 $z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$，$z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$，则

$$z_1\cdot z_2=r_1{r}_2[\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)]$$

性质：

• 模：$|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$（模相乘 = 伸缩率的乘积）
• 辐角：$\arg (z_1\cdot z_2)=\arg (z_1)+\arg (z_2)$（辐角相加 = 旋转的叠加）

特殊情形：

• 乘以 $i$：模不变，逆时针旋转 $90°$
  $$i\cdot z=i(a+bi)=-b+ai$$
  几何上，$(a,b)\to (-b,a)$，恰为逆时针旋转 $90°$。
• 乘以 $-1$：模不变，旋转 $180°$
• 乘以 $2$：模变为 $2$ 倍，方向不变
• 乘以 $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos 60°+i\sin 60°$：模不变，逆时针旋转 $60°$

数学意义：复数乘法是旋转与伸缩的代数化表示。在实数域中，乘法无法表示旋转；在复数域中，乘法天然包含旋转与伸缩的复合变换。

4.3 共轭复数

定义：复数 $z=a+bi$ 的共轭复数为 $\overline{z}=a-bi$。

几何意义：复平面上关于实轴的对称点。

共轭复数的核心性质：

$$\boxed{{\displaystyle \text{共轭性质}}}$$

1. 还原性：$\bar{\overline{z}}=z$
2. 实部提取：$z+\overline{z}=2\text{Re}(z)=2a\in \mathbb{R}$
3. 虚部提取：$z-\overline{z}=2i\text{Im}(z)=2bi$（纯虚数或零）
4. 模平方：$z\cdot \overline{z}=|z{|}^2=a^2+b^2\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}$
5. 四则运算保共轭：
   • $\overline{z_1+z_2}={\overline{z}}_1+{\overline{z}}_2$
   • $\overline{z_1-z_2}={\overline{z}}_1-{\overline{z}}_2$
   • $\overline{z_1\cdot z_2}={\overline{z}}_1\cdot {\overline{z}}_2$
   • $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{{\overline{z}}_1}{{\overline{z}}_2}$（$z_2\ne 0$）
6. 实数判别：$z\in \mathbb{R}⟺z=\overline{z}$
7. 纯虚数判别：$z$ 为纯虚数 $⟺z+\overline{z}=0$ 且 $z\ne 0$

性质归纳：共轭复数在加减乘除、模平方、实轴对称、实数自等运算中保持封闭性。

4.4 除法：分母实数化的共轭对称性

法则：

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$$

数学原理：

$$z\cdot \overline{z}=|z{|}^2=a^2+b^2$$

一个复数与其共轭复数的乘积为非负实数。分母实数化的原理在于利用共轭复数消去分母中的虚部。共轭运算 $z\mapsto \overline{z}$ 是复数域的自同构，保持域结构不变。

几何意义：除法是乘法的逆运算

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)]$$

• 模相除：$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$
• 辐角相减：$\arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg (z_1)-\arg (z_2)$

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五、复数的三角表示（选学·7.3）

5.1 三角形式

对于非零复数 $z=a+bi$，设其模为 $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$，辐角为 $\theta$（即 $z$ 对应的向量与实轴正方向的夹角），则

$$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$$

这就是复数的三角形式。其中：

• $r$ 是模，$r>0$
• $\theta$ 是辐角，有无穷多个值，相差 $2\pi$ 的整数倍
• 在 $[0,2\pi )$ 内的辐角值称为辐角主值，记作 $\arg z$

注意：三角形式要求 $r>0$，且是 $\cos$ 与 $\sin$ 的和。例如 $-2(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})$ 不是三角形式，需转化为 $2(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})$。

5.2 乘除的三角几何意义

$$z_1\cdot z_2=r_1{r}_2[\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)]$$

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)]$$

几何操作：

• 乘法：将 $z_1$ 对应的向量模伸长 $r_2$ 倍，辐角逆时针旋转 ${\theta }_2$
• 除法：将 $z_1$ 对应的向量模缩短 $r_2$ 倍，辐角顺时针旋转 ${\theta }_2$

5.3 棣莫弗（De Moivre）公式

$$[r(\cos \theta +i\sin \theta ){]}^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$$

特例（$r=1$）：

$$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$$

应用：求复数的 $n$ 次方根。

复数 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ 的 $n$ 次方根为：

$$\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\theta +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\theta +2k\pi }{n}),k=0,1,2,\dots ,n-1$$

关键事实：非零复数有恰好 $n$ 个不同的 $n$ 次方根，在复平面上均匀分布在以原点为圆心的圆上。

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六、综合应用

6.1 复数模的几何意义——距离公式

$$|z_1-z_2|=\sqrt{(a_1-a_2{)}^2+(b_1-b_2{)}^2}$$

该公式即为复平面上两点 $Z_1$ 与 $Z_2$ 之间的欧几里得距离。

应用：

• $|z-(1+i)|=2$：以 $(1,1)$ 为圆心、$2$ 为半径的圆
• $|z-1|=|z+i|$：到 $(1,0)$ 与 $(0,-1)$ 距离相等的点的轨迹（垂直平分线）
• $|z-1|+|z+1|=4$：以 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$ 为焦点的椭圆
• $||z-1|-|z+1||=2$：以 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$ 为焦点的双曲线

高考趋势：复数与解析几何结合是近年高考的重要考点。此类题目以复数形式给出条件，本质上为圆锥曲线轨迹问题。

6.2 $|z-a|=r$ 表示圆——更一般的情形

设 $z=x+yi$，$a=x_0+y_{0}i$，则

$$|z-a|=r⟺(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$$

这是标准的圆方程。

进阶：

• $|z-a|\le r$：圆盘（圆及其内部）
• $r_1\le |z-a|\le r_2$：圆环

6.3 复数与轨迹方程

解题策略：设 $z=x+yi$（$x,y\in \mathbb{R}$），代入条件，消去 $i$，转化为 $x,y$ 的关系式。

经典题型：已知 $|z|=1$，求 $|z-1-i|$ 的最值。

• 几何法：单位圆上的点到 $(1,1)$ 的距离最值。最大值为 $1+\sqrt{2}$（最远点），最小值为 $\sqrt{2}-1$（最近点）。
• 代数法：设 $z=\cos \theta +i\sin \theta$，则
  $$|z-1-i{|}^2=(\cos \theta -1{)}^2+(\sin \theta -1{)}^2=3-2(\cos \theta +\sin \theta )$$
  利用辅助角公式求最值。

6.4 共轭复数的性质链——核心工具

在考试中，遇到以下场景优先考虑共轭：

1. 已知 $z$ 的模或 $|z|$ 相关条件
2. 方程有实根的条件
3. 分母含复数的化简
4. 证明某复数为实数或纯虚数

技巧：若 $z$ 满足某方程，则 $\overline{z}$ 满足共轭方程。例如，若 $z^2+pz+q=0$ 且系数为实数，则 $\overline{z}$ 也是根。

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七、易错警示

7.1 $i$ 的幂次周期性

$$i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1$$

周期为 $4$：$i^{4n}=1$，$i^{4n+1}=i$，$i^{4n+2}=-1$，$i^{4n+3}=-i$

典型错例：计算 $i^{2024}$

• 错解：$i^{2024}=(i^2{)}^{1012}=(-1{)}^{1012}=1$（此解法碰巧正确）
• 但如果算 $i^{2023}=(i^2{)}^{1011}\cdot i=-i$
• 更一般的方法：$2024=4\times 506$，余数为 $0$，故 $i^{2024}=i^0=1$

注意：$i^0=1$（任何非零数的零次幂为 $1$），$i^{-1}=\frac{1}{i}=-i$。

7.2 $|z{|}^2\ne z^2$——实数思维的延伸错误

这是从实数转向复数时最严重的认知错误。

在实数域：$|x{|}^2=x^2$，学生常将实数性质错误推广到复数域：$|z{|}^2=z^2$。

在复数域：

• $|z{|}^2=a^2+b^2$（非负实数）
• $z^2=(a+bi{)}^2=a^2-b^2+2abi$（一般仍为复数）

反例：$z=i$

• $|i{|}^2=1$
• $i^2=-1$
• 显然 $|i{|}^2\ne i^2$

正确公式：

$$|z{|}^2=z\cdot \overline{z}$$

该公式是复数域中对实数公式 $|x{|}^2=x^2$ 的推广。

常见错误：若由 $|z{|}^2=z^2$ 推出 $z=\overline{z}$（实数），这是错误推理。正确的推导应从 $z\cdot \overline{z}=z^2$ 出发，即 $z(\overline{z}-z)=0$，当 $z\ne 0$ 时 $\overline{z}=z$，即 $z$ 为实数。

7.3 复数域内方程的根与系数关系

实系数方程：若 $z$ 是实系数多项式方程的根，则 $\overline{z}$ 也是根。

例：方程 $x^2+1=0$ 的根为 $x=\pm i$（互为共轭）。

例：方程 $x^2-2x+5=0$，判别式 $\mathrm{\Delta }=4-20=-16<0$，根为

$$x=\frac{2\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$$

两实根之和 $=2$，两实根之积 $=5$。韦达定理仍然成立。

易错点：

1. 在复数域中，判别式 $\mathrm{\Delta }<0$ 不表示无根，而是有两个共轭虚根。
2. 韦达定理在复数域中仍然成立（代数基本定理的推论）。
3. 求根公式在复数域中仍然适用。

但注意：若系数不是实数，则根不一定成共轭对。例如 $x^2+ix+1=0$ 的根不一定互为共轭。

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八、思想方法提炼

8.1 复数与实数、向量、三角的对应关系

学习复数需建立以下对应关系：

复数与实数的对应：

• 对应点：复数的代数运算与实数的多项式运算形式相同
• 差异：复数不能比较大小；$|z{|}^2\ne z^2$
• 运算律：实数的运算律（交换律、结合律、分配律）在复数中仍然成立

复数与向量的对应：

• 对应点：复数加法对应向量加法；复数模对应向量模
• 差异：复数乘法对应旋转与伸缩，而向量没有定义与此对应的乘法运算
• 应用：利用向量几何直观理解复数运算

复数与三角的对应：

• 对应点：三角形式的乘除对应模乘除与辐角加减
• 应用：利用三角恒等变换处理复数幂运算

8.2 数形结合：复平面的代数与几何双重属性

复平面具有以下双重属性：平面上的点既表示位置，又作为复数参与运算。

代数操作	几何结果
$z+a$	平移
$kz$（$k>0$）	以原点为中心的伸缩
$iz$	逆时针旋转 $90°$
$\overline{z}$	关于实轴的对称
$|z-a|=r$	圆
$|z-a|+|z-b|=2c$	椭圆

解题策略：代数问题几何化，几何问题代数化。遇到模的条件，转化为距离问题；遇到乘除，转化为旋转伸缩问题。

8.3 转化化归：复数问题的降维方法

复数是二维的数，但解题时常转化为实数问题：

1. 设 $z=x+yi$：将复数条件转化为关于 $x,y$ 的实数方程组
2. 分离实部虚部：$A+Bi=0⟺A=0,B=0$
3. 利用 $z\overline{z}=|z{|}^2$：将复数方程转化为实数方程
4. 三角代换：设 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$，转化为三角函数问题

8.4 方程思想：复数相等即方程组

复数相等的定义提供了两个独立的实数等式。在解题中，若有未知复数 $z$，通常设 $z=a+bi$，利用复数相等得到关于 $a,b$ 的方程组。

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九、本章知识网络图

                    数系扩充（方程驱动）
                           ↓
                    复数 z = a + bi
                           ↓
           ┌───────────────┼───────────────┐
           ↓               ↓               ↓
        代数形式       几何形式        三角形式
       (a + bi)    复平面点Z(a,b)   r(cosθ + isinθ)
           ↓               ↓               ↓
      实部/虚部         模/辐角          旋转伸缩
           ↓               ↓               ↓
      四则运算 ←──── 向量运算 ────→ 乘除几何意义
           ↓                               ↓
      共轭复数 ←────────────────────→ 棣莫弗公式
           ↓                               ↓
      分母实数化                      n次方根
           ↓
      模的运算
           ↓
      轨迹问题（圆/椭圆/直线）

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十、章末总结

1. 复数的二维结构：复数 $z=a+bi$ 由实部 $a$ 与虚部 $b$ 唯一确定，对应复平面上的点 $(a,b)$，其模 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 表示该点到原点的距离，辐角 $\arg z$ 表示该点对应向量与实轴正方向的夹角。

2. 复数乘法的几何意义：复数乘法 $z_1\cdot z_2$ 对应模相乘（伸缩）与辐角相加（旋转），是旋转与伸缩变换的代数化表示。

3. 复数的理论价值：复数域保证了代数基本定理成立（$n$ 次多项式方程恰有 $n$ 个根）；复数乘除运算实现了旋转与伸缩的几何变换计算；棣莫弗公式简化了复数的幂运算与开方运算。

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说明：复数在高考中通常以小题形式出现，难度适中。从实数到复数的扩展，构成了对"数"的完整理论认识。复数所蕴含的思想方法（对应关系、数形结合、转化化归）在高等数学中具有广泛应用。