第五章 三角函数

本章总览：三角函数是高中数学的核心模块之一，它将"角"与"数"建立了联系，使几何中的周期现象可以用代数方法精确刻画。本章的线索是：角的推广 → 三角函数的定义 → 诱导公式 → 图像与性质 → 恒等变换 → 函数y=A\sin(\omega x+\varphi) → 实际应用。贯穿始终的思想是数形结合与转化化归——把角放到单位圆上，把复杂的三角式化归为同名同角的基本形式。

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5.1 任意角和弧度制

【来龙去脉】为什么要推广"角"的概念？

初中所学的角，范围是 $0°$ 到 $360°$ 之间，定义是"由一点出发的两条射线所组成的图形"。但在现实生活中，我们遇到的旋转远不止一圈：钟表指针日复一日地转动、车轮滚滚向前、螺旋桨高速旋转……这些现象中的角，可以转很多圈，甚至倒着转。如果角的范围受限，就无法描述这些运动。

更深层的问题是：角度制本身是一种"人为约定"。把圆周分为360等份，每份 $1°$，这源于古巴比伦的六十进制传统，并无特别的数学必然性。在高等数学（微积分）中，我们研究三角函数的导数时会发现：

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x\text{仅在弧度制下成立！}$$

若用角度制，则 $(\sin x°{)}^{\prime }=\frac{\pi }{180}\cos x°$，公式中出现额外的换算系数 $\frac{\pi }{180}$。因此，为了数学表述的简洁性与一致性，必须引入弧度制。

【基础精讲】

一、任意角的概念

定义：平面内一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角。射线的起始位置 $OA$ 叫始边，终止位置 $OB$ 叫终边，端点 $O$ 叫顶点。

• 正角：按逆时针方向旋转形成的角
• 负角：按顺时针方向旋转形成的角
• 零角：没有做任何旋转

象限角：将角的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴正半轴重合，终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角。终边落在坐标轴上的角不属于任何象限，称为轴线角。

终边位置	角的集合表示
$x$ 轴正半轴	$\{\alpha |\alpha =2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$
$x$ 轴负半轴	$\{\alpha |\alpha =\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$
$y$ 轴正半轴	$\{\alpha |\alpha =\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$
$y$ 轴负半轴	$\{\alpha |\alpha =\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$
$x$ 轴	$\{\alpha |\alpha =k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$
$y$ 轴	$\{\alpha |\alpha =\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$
坐标轴	$\{\alpha |\alpha =\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\}$

终边相同的角：与角 $\alpha$ 终边相同的角（包括 $\alpha$ 本身）构成集合：

$$\{\beta |\beta =\alpha +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}\text{或}\{\beta |\beta =\alpha +k\cdot 360°,k\in \mathbb{Z}\}$$

理解要点：终边相同的角，三角函数值完全相同。这表明三角函数具有周期性的内在性质。

二、弧度制

核心思想：让"角"这个量与"长度"这个量可以直接比较、运算。

定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 $1$ 弧度的角，记作 $1\text{ rad}$。

一般地，圆心角 $\alpha$ 的弧度数等于其所对弧长 $l$ 与半径 $r$ 的比值：

$$|\alpha |=\frac{l}{r}$$

这是一个无量纲的比值！这意味着弧度是一个"纯数"，与实数一一对应，可以直接参与各种代数运算。

角度与弧度的换算：

• 周角：$360°=2\pi$ 弧度
• 平角：$180°=\pi$ 弧度
• 换算公式：$1°=\frac{\pi }{180}$ 弧度，$1\text{ rad}=\frac{180°}{\pi }\approx 57.3°$

角度	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$120°$	$135°$	$150°$	$180°$
弧度	$0$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\frac{2\pi }{3}$	$\frac{3\pi }{4}$	$\frac{5\pi }{6}$	$\pi$

三、弧长公式与扇形面积公式

在弧度制下，弧长和扇形面积公式变得极其简洁：

• 弧长公式：$l=|\alpha |\cdot r$
• 扇形面积公式：$S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}|\alpha |r^2$

对比角度制下的公式：$l=\frac{n\pi r}{180}$，$S=\frac{n\pi r^2}{360}$，弧度制的形式与三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ah$ 更加统一，这正是"自然性"的体现。

【深度理解】弧度制的"自然性"

为什么弧度制是"自然"的？从三个层面理解：

1. 极限层面：重要极限 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$ 仅在弧度制下成立。若用角度制，极限值为 $\frac{\pi }{180}$。

2. 导数层面：$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$，$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ 的简洁形式仅在弧度制下成立。

3. 幂级数层面：$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$ 中 $x$ 必须以弧度为单位，否则级数系数将全部改变。

【易错警示】

1. 角度与弧度的混用：$\sin 1$ 与 $\sin 1°$ 完全不同！$\sin 1\approx 0.8415$（$1$ 弧度 $\approx 57.3°$），而 $\sin 1°\approx 0.0175$。在计算时务必确认单位。

2. 弧度省略单位：当角用弧度表示时，单位"rad"通常省略。例如 $\alpha =\frac{\pi }{3}$，而非 $\alpha =\frac{\pi }{3}\text{ rad}$（虽然后者也正确）。

3. 混淆"角度"与"实数"：弧度制下，角就是实数。因此 $\sin \alpha$ 中的 $\alpha$ 可以取任意实数，包括负数、大于 $2\pi$ 的数。

【知识串联】

• 任意角的推广为后续诱导公式提供了定义域基础
• 弧度制使三角函数真正成为实数集到实数集的映射，为研究函数性质（连续性、可导性）铺平道路
• 扇形面积公式 $S=\frac{1}{2}lr$ 与三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ah$ 形式统一，反映了数学结构的一致性

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5.2 三角函数的概念

【来龙去脉】从"直角三角形"到"单位圆"的推广

初中定义三角函数：在直角三角形中，$\sin \alpha =\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$，$\cos \alpha =\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$，$\tan \alpha =\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$。

这个定义存在三个根本性局限：

1. 范围受限：只能定义锐角（$0°<\alpha <90°$），钝角怎么办？负角怎么办？
2. 依赖性：必须依附于一个具体的三角形，不同大小的直角三角形给出不同的边长，但比值相同——这个"不变性"只是经验观察，未从本质上解释
3. 运算封闭性：在直角三角形框架下，$\sin \alpha +\cos \alpha$、$\sin 2\alpha$ 等运算没有自然的几何意义

新的定义方式：将角放在直角坐标系中，让终边与单位圆（半径为1，圆心在原点的圆）相交于点 $P(x,y)$。

【基础精讲】

一、单位圆定义（核心）

设 $\alpha$ 是一个任意角，它的终边与单位圆 $x^2+y^2=1$ 交于点 $P(x,y)$。

定义：

• 正弦：$\sin \alpha =y$
• 余弦：$\cos \alpha =x$
• 正切：$\tan \alpha =\frac{y}{x}(x\ne 0)$

本质理解：$\sin \alpha =y$ 不是"对边/斜边"！在单位圆上，斜边恒为1，所以 $\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}=\frac{y}{1}=y$。新定义是旧定义的推广与升华，当 $\alpha$ 为锐角时，两者数值一致，但新定义适用于任意角。

推广到一般圆：若角 $\alpha$ 的终边与圆心在原点、半径为 $r$ 的圆交于点 $P(x,y)$，则：

$$\sin \alpha =\frac{y}{r},\cos \alpha =\frac{x}{r},\tan \alpha =\frac{y}{x}(x\ne 0)$$

其中 $r=\sqrt{x^2+y^2}$。

二、三角函数的定义域与值域

三角函数	定义域	值域
$y=\sin \alpha$	$\mathbb{R}$	$[-1,1]$
$y=\cos \alpha$	$\mathbb{R}$	$[-1,1]$
$y=\tan \alpha$	$\{\alpha |\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$	$\mathbb{R}$

三、三角函数值的符号规律

由单位圆上点的坐标符号决定：

象限	$\sin \alpha =y$	$\cos \alpha =x$	$\tan \alpha =\frac{y}{x}$
第一象限	$+$	$+$	$+$
第二象限	$+$	$-$	$-$
第三象限	$-$	$-$	$+$
第四象限	$-$	$+$	$-$

记忆口诀："一全正，二正弦，三正切，四余弦"——即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正。

四、同角三角函数的基本关系

由单位圆方程 $x^2+y^2=1$ 以及定义，立即得到：

平方关系：

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

商数关系：

$$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }(\cos \alpha \ne 0)$$

这两个关系是一切三角恒等变换的基石。由平方关系还可变形得到：

• ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$
• ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$
• $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$（当 $\cos \alpha \ne 0$ 时）

【深度理解】为什么定义域要排除 $\frac{\pi }{2}+k\pi$？

正切 $\tan \alpha =\frac{y}{x}$，当终边落在 $y$ 轴上时，$x=0$，分母为零，正切不存在。

从几何直观来看：终边在 $y$ 轴上时，直线的斜率"趋于无穷"，对应正切值趋向 $+\mathrm{\infty }$ 或 $-\mathrm{\infty }$。直线 $x=\frac{\pi }{2}$ 是 $y=\tan x$ 图像的垂直渐近线。

【隐性考点】$\sin \alpha >\sin \beta$ 不能推出 $\alpha >\beta$！

三角函数不是单调函数！$\sin \alpha >\sin \beta$ 只能推出在某个单调区间内的大小关系，不能直接推广到整个定义域。

例如：$\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}>\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$，但 $\frac{2\pi }{3}>\frac{\pi }{6}$ 成立；然而 $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}>\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$，而 $\frac{5\pi }{6}>\frac{\pi }{6}$ 也成立；再例如 $\sin \frac{13\pi }{6}=\frac{1}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{2\pi }{3}$，但 $\frac{13\pi }{6}>\frac{2\pi }{3}$。

正确做法：比较三角函数值，必须把角化到同一单调区间内。

【思想方法】数形结合——三角函数线

三角函数线是用有向线段表示三角函数值的方法，是数形结合的经典工具。

在单位圆中：

• 正弦线 $\overrightarrow{MP}$：从 $x$ 轴到终边与单位圆交点的纵坐标线段
• 余弦线 $\overrightarrow{OM}$：从原点到终边在 $x$ 轴上的投影的横坐标线段
• 正切线 $\overrightarrow{AT}$：过点 $A(1,0)$ 作圆的切线，与终边（或其反向延长线）的交点到 $A$ 的线段

三角函数线的方向规定：与坐标轴正方向相同则为正，相反则为负。

应用：三角函数线可以直观比较三角函数值的大小、解三角不等式（如 $\sin x>\frac{1}{2}$）、理解单调性和周期性。

【知识串联】

• 同角关系是后续诱导公式和恒等变换的运算基础
• 单位圆定义使三角函数成为周期函数，为 $5.4$ 节的图像与性质研究提供了代数前提
• 三角函数线方法在后续解三角不等式时非常有用

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5.3 诱导公式

【来龙去脉】为什么要研究诱导公式？

现在我们已经能用单位圆定义任意角的三角函数，但如果每次求 $\sin \frac{7\pi }{6}$ 都要去画图找坐标，效率太低。诱导公式的核心思想是：任意角的三角函数值，都可以转化为锐角三角函数值来计算。

这本质上是利用单位圆的对称性：终边关于坐标轴、原点、直线 $y=x$ 的对称，对应着三角函数值之间的确定关系。

【基础精讲】

一、诱导公式的体系

诱导公式共有六组，但不需要死记硬背，只需掌握对称原理：

公式组	角度形式	核心对称	公式内容
公式一	$\alpha +2k\pi$	终边重合（旋转整数圈）	$\sin (\alpha +2k\pi )=\sin \alpha$，$\cos (\alpha +2k\pi )=\cos \alpha$，$\tan (\alpha +2k\pi )=\tan \alpha$
公式二	$\pi +\alpha$	关于原点对称	$\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$，$\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$，$\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha$
公式三	$-\alpha$	关于 $x$ 轴对称	$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$，$\cos (-\alpha )=\cos \alpha$，$\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$
公式四	$\pi -\alpha$	关于 $y$ 轴对称	$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$，$\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$，$\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha$
公式五	$\frac{\pi }{2}-\alpha$	关于直线 $y=x$ 对称	$\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha$，$\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha$
公式六	$\frac{\pi }{2}+\alpha$	旋转 $90°$	$\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha$，$\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha$

二、对称性推导（不背口诀，画图理解）

公式二（$\pi +\alpha$）的推导：

角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于 $P(x,y)$，角 $\pi +\alpha$ 的终边是 $OP$ 反向延长线，交单位圆于 $P^{\prime }(-x,-y)$。

由定义：

• $\sin (\pi +\alpha )=-y=-\sin \alpha$
• $\cos (\pi +\alpha )=-x=-\cos \alpha$
• $\tan (\pi +\alpha )=\frac{-y}{-x}=\frac{y}{x}=\tan \alpha$

公式三（$-\alpha$）的推导：

角 $-\alpha$ 的终边与 $\alpha$ 的终边关于 $x$ 轴对称，交点 $P^{\prime }(x,-y)$。

• $\sin (-\alpha )=-y=-\sin \alpha$（正弦为奇函数）
• $\cos (-\alpha )=x=\cos \alpha$（余弦为偶函数）

公式五（$\frac{\pi }{2}-\alpha$）的推导：

关于直线 $y=x$ 对称，点 $P(x,y)$ 的对称点为 $P^{\prime }(y,x)$。

• $\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=x=\cos \alpha$
• $\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=y=\sin \alpha$

【深度理解】"奇变偶不变，符号看象限"的本质

这是课本上的记忆口诀，其本质含义是：

设 $k\in \mathbb{Z}$，研究 $\sin (\frac{k\pi }{2}\pm \alpha )$ 和 $\cos (\frac{k\pi }{2}\pm \alpha )$

• "奇变偶不变"：看 $\frac{k\pi }{2}$ 中 $k$ 的奇偶性

  • $k$ 为偶数时（如 $0,\pm 2,\pm 4,\dots$，对应 $0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\dots$），函数名不变（正弦还是正弦，余弦还是余弦）
  • $k$ 为奇数时（如 $\pm 1,\pm 3,\dots$，对应 $\pm \frac{\pi }{2},\pm \frac{3\pi }{2},\dots$），函数名改变（正弦变余弦，余弦变正弦）

• "符号看象限"：把 $\alpha$ 视为锐角，判断 $\frac{k\pi }{2}\pm \alpha$ 所在象限，然后根据该象限中原函数的符号确定等式右边的符号

本质剖析：

• "奇变偶不变"来源于轴对称 vs 旋转 $90°$ 的不同：关于坐标轴的对称不改变函数名（因为 $x,y$ 只是变号），而旋转 $90°$ 使 $x,y$ 互换，从而正弦（$y$）和余弦（$x$）互换。
• "符号看象限"的严谨说法是：诱导公式右边的符号等于左边那个角所在象限的原函数的符号。把 $\alpha$ 当成锐角只是"便于判断"的技巧，并非逻辑前提。

【隐性考点】①"符号看象限"的本质

很多同学死记"把 $\alpha$ 看成锐角"，遇到 $\alpha$ 本身不是锐角时就懵了。其实"把 $\alpha$ 看成锐角"只是判断符号的一种辅助方法，公式对任意 $\alpha$ 都成立。

正确理解：无论 $\alpha$ 是什么角，公式 $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$ 永远成立。"看象限"只是为了帮你快速确定等式右边该写 $+$ 还是 $-$。

【易错警示】

1. 混淆公式六的符号：$\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha$，不是 $-\cos \alpha$！把 $\alpha$ 看成锐角，$\frac{\pi }{2}+\alpha$ 在第二象限，正弦为正，所以右边取正。

2. 忘记正切的定义域：在使用诱导公式化 $\tan (\frac{\pi }{2}+\alpha )$ 时，得到 $-\cot \alpha$，但要注意 $\alpha \ne k\pi$ 的限制。

3. 化简不彻底：化简三角函数式时，最终目标一般是同名同角同号——即尽量化为只含一种三角函数、只含一个角、符号确定的形式。

【思想方法】转化化归——把任意角化到锐角

诱导公式的应用流程：

$$\text{任意角}\stackrel{\text{公式一（去整圈）}}{\to }[0,2\pi )\text{内的角}\stackrel{\text{公式二、三、四}}{\to }\text{锐角}\stackrel{\text{查表或计算}}{\to }\text{数值}$$

这就是"负角化正角，大角化小角，小角化锐角"的化归思想。

【知识串联】

• 诱导公式使三角函数具有奇偶性（正弦奇、余弦偶）和周期性（周期 $2\pi$）的明确表达
• 公式五 $\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha$ 是互余角关系的推广
• 诱导公式是后续三角恒等变换中"化同名、化同角"的第一步工具

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5.4 三角函数的图像与性质

【来龙去脉】为什么要研究图像？

我们已经有三角函数的代数定义，但"数"和"形"的结合才能展现函数的全貌。图像可以直观显示：函数值何时为正、何时为负？在哪里达到最大最小值？如何周而复始地变化？

更重要的是，三角函数图像在物理中有直接对应：简谐振动（弹簧振子、单摆）的位移-时间图像就是正弦曲线；交流电的电压-时间图像也是正弦曲线。研究三角函数图像，就是在为物理建模做准备。

【基础精讲】

一、正弦函数 $y=\sin x$ 的图像

五点作图法：在 $[0,2\pi ]$ 内取五个关键点：

$x$	$0$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
$y=\sin x$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$

这五个点分别对应"起点、最高点、平衡点、最低点、回到起点"。描点连线即可得到正弦曲线的一个周期。由于周期性，将 $[0,2\pi ]$ 上的图像左右平移 $2k\pi$ 个单位，就得到整个定义域上的图像。

图像特征：

• 值域为 $[-1,1]$，在 $y=1$ 和 $y=-1$ 之间周期性振荡
• 关于原点对称（奇函数）
• 过原点 $(0,0)$

二、余弦函数 $y=\cos x$ 的图像

利用诱导公式 $\cos x=\sin (x+\frac{\pi }{2})$，可知余弦图像可由正弦图像向左平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位得到。

五点作图法：

$x$	$0$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
$y=\cos x$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$1$

图像特征：

• 值域为 $[-1,1]$，在 $x=0$ 处取得最大值 $1$
• 关于 $y$ 轴对称（偶函数）

三、正切函数 $y=\tan x$ 的图像

定义域：$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

在一个周期 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 内：

• 过原点 $(0,0)$
• 当 $x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}$ 时，$y\to +\mathrm{\infty }$；当 $x\to -{\frac{\pi }{2}}^{+}$ 时，$y\to -\mathrm{\infty }$
• 函数在直线 $x=\pm \frac{\pi }{2}$ 处无定义，这两条直线是垂直渐近线

图像特征：

• 在每个周期内单调递增
• 关于原点对称（奇函数）
• 不是连续曲线，而是由渐近线分隔的无数支单调递增曲线

四、三角函数的性质汇总

性质	$y=\sin x$	$y=\cos x$	$y=\tan x$
定义域	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$\{x|x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$
值域	$[-1,1]$	$[-1,1]$	$\mathbb{R}$
周期	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数
单调增区间	$[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi ]$	$[-\pi +2k\pi ,2k\pi ]$	$(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi )$
单调减区间	$[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi ]$	$[2k\pi ,\pi +2k\pi ]$	无
最大值	$1$（当 $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$）	$1$（当 $x=2k\pi$）	无
最小值	$-1$（当 $x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$）	$-1$（当 $x=\pi +2k\pi$）	无
对称轴	$x=\frac{\pi }{2}+k\pi$	$x=k\pi$	无
对称中心	$(k\pi ,0)$	$(\frac{\pi }{2}+k\pi ,0)$	$(\frac{k\pi }{2},0)$

【深度理解】周期性的本质

周期函数定义：若存在非零常数 $T$，使得对定义域内任意 $x$ 都有 $f(x+T)=f(x)$，则称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 为它的一个周期。若在所有周期中存在最小的正数，则称之为最小正周期。

三角函数的周期来源：

• 角 $\alpha$ 与 $\alpha +2\pi$ 终边相同 $\Rightarrow$ $\sin (\alpha +2\pi )=\sin \alpha$ $\Rightarrow$ 周期为 $2\pi$
• 正切的周期为什么是 $\pi$？因为 $\tan (\alpha +\pi )=\frac{\sin (\alpha +\pi )}{\cos (\alpha +\pi )}=\frac{-\sin \alpha }{-\cos \alpha }=\tan \alpha$，终边关于原点对称但正切值不变

【隐性考点】② $\sin \alpha >\sin \beta$ 不能推出 $\alpha >\beta$

已在前文强调，此处补充：在同一单调区间内，由函数值大小可以推出自变量大小；但跨区间比较时，必须借助图像分析。

例如：已知 $\sin x>\frac{1}{2}$，求 $x$ 的范围。在单位圆上画出 $y=\frac{1}{2}$ 的水平线，交单位圆于 $\frac{\pi }{6}$ 和 $\frac{5\pi }{6}$。由图像（或三角函数线）可知：

$$\frac{\pi }{6}+2k\pi <x<\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

【易错警示】

1. 忽略定义域限制：求 $y=\tan (2x+\frac{\pi }{4})$ 的定义域时，需要 $2x+\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$，即 $x\ne \frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$，而不是 $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$！

2. 单调区间的写法：正弦函数的增区间是 $[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi ]$，注意是闭区间。虽然端点处导数为零，但函数在该点两侧确实是"递增"的。

3. 对称轴与对称中心混淆：$y=\sin x$ 的对称轴是 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$（此时取最值），对称中心是 $(k\pi ,0)$（此时函数值为零）。

【思想方法】数形结合——利用图像解不等式

解 $\sin x>\frac{1}{2}$：

1. 画出 $y=\sin x$ 在一个周期内的图像
2. 画出水平线 $y=\frac{1}{2}$
3. 找出图像在直线上方的部分
4. 写出对应的 $x$ 范围，并加上周期 $2k\pi$

这正是"以形助数"的经典范例。

【知识串联】

• $y=\sin x$ 的周期 $2\pi$ 是后续研究 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 的基础
• 正弦、余弦的有界性（$|\sin x|\le 1$）是求三角函数最值的关键
• 正切图像的渐近线特征，在后续求复合正切函数定义域时频繁出现

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5.5 三角恒等变换

【来龙去脉】为什么要学习恒等变换？

三角恒等变换是三角函数的"代数化"——将不同角、不同名的三角函数式，通过恒等变形转化为便于分析的形式。

典型需求：

• 化简：${\sin }^{2}x\cdot \tan x+{\cos }^{2}x\cdot \cot x+2\sin x\cos x$
• 求值：已知 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$，$\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi )$，求 $\sin 2\alpha$、$\cos 2\alpha$
• 证明：求证 $\frac{1+\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }$
• 研究 $y=a\sin x+b\cos x$ 的最值

这些问题的解决，都需要运用和差公式、倍角公式、辅助角公式。

【基础精讲】

一、两角和与差的余弦公式（推导起点）

公式：

$$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$$

$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$

推导（向量法/单位圆法）：

在单位圆上，设角 $\alpha$ 的终边过点 $A(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，角 $\beta$ 的终边过点 $B(\cos \beta ,\sin \beta )$。

向量 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

又 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB}|\cos (\alpha -\beta )=1\cdot 1\cdot \cos (\alpha -\beta )$

因此：$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$。

将 $\beta$ 换为 $-\beta$，利用余弦偶、正弦奇的性质，即得 $\cos (\alpha +\beta )$ 的公式。

二、两角和与差的正弦公式

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$

$$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$$

推导：利用诱导公式 $\sin (\alpha +\beta )=\cos (\frac{\pi }{2}-(\alpha +\beta ))=\cos ((\frac{\pi }{2}-\alpha )-\beta )$，再展开即可。

三、两角和与差的正切公式

$$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$$

$$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$$

条件：$\alpha ,\beta ,\alpha \pm \beta$ 都不能取 $\frac{\pi }{2}+k\pi$。

四、二倍角公式

在和角公式中令 $\alpha =\beta$：

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$

$$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$$

$$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$$

降幂公式（由二倍角公式变形得到，同样重要）：

$${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$$

$${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$$

降幂公式的作用：把高次降为低次，把不同角化为同角。

五、辅助角公式（合一变换）

公式：

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$$

其中 $\tan \phi =\frac{b}{a}$（$a>0$ 时），且 $\phi$ 的终边过点 $(a,b)$。

也可写成：

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cos (x-\theta )$$

其中 $\tan \theta =\frac{a}{b}$。

推导：

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x)$$

令 $\cos \phi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\sin \phi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，则括号内恰好是 $\sin (x+\phi )$ 的展开式。

【深度理解】三角恒等变换的"化归"思想

所有三角恒等变换的目标可以概括为一句话：化同名、化同角、化同次。

变换目标	常用工具	示例
化同名	诱导公式、$\tan =\frac{\sin }{\cos }$	把正切化为弦
化同角	和差角公式、倍角公式、降幂公式	${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$
化同次	降幂公式、倍角公式	$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$
化标准形	辅助角公式	$a\sin x+b\cos x\to A\sin (x+\phi )$

核心策略：

1. 遇"切"化"弦"（正切化成正弦余弦）
2. 遇"平方"想"降幂"（${\sin }^{2}x,{\cos }^{2}x$ 想到二倍角）
3. 遇"和积"想"辅助角"（$a\sin x+b\cos x$ 型）
4. 遇"不同角"找"关系"（看角之间是否有和差倍半关系）

【隐性考点】③三角函数值域含参问题

求 $y=a\sin x+b\cos x+c$ 的值域，标准做法是辅助角公式：

$$y=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )+c$$

值域为 $[c-\sqrt{a^2+b^2},c+\sqrt{a^2+b^2}]$。

陷阱：如果题目限制了 $x$ 的范围（如 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$），则不能直接用 $[-1,1]$，必须结合图像分析 $x+\phi$ 的范围。

【隐性考点】④辅助角公式的配凑技巧

常见的配凑形式：

• $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$
• $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin (x-\frac{\pi }{4})$
• $\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin (x+\frac{\pi }{6})$
• $\sqrt{3}\sin x-\cos x=2\sin (x-\frac{\pi }{6})$
• $\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin (x+\frac{\pi }{3})$

这些"常见组合"需要熟练掌握，在考试中能极大提高速度。

【易错警示】

1. 和角公式符号混淆：$\cos (\alpha -\beta )$ 展开是"余余正正、符号同"（$\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$），$\cos (\alpha +\beta )$ 是"余余正正、符号反"。正弦展开是"正余余正、符号同原"。

2. 倍角公式的选择：$\cos 2\alpha$ 有三种形式，要根据已知条件选择最合适的：

   • 已知 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 都有 $\to {\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$
   • 已知 $\cos \alpha$ $\to 2{\cos }^2\alpha -1$
   • 已知 $\sin \alpha$ $\to 1-2{\sin }^2\alpha$

3. 开方时漏掉正负：由 ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$ 得 $\sin \alpha =\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$，需要根据 $\alpha$ 的范围确定符号。

【思想方法】整体代换——令 $t=\alpha +\beta$

在处理 $\sin \alpha +\sin \beta$、$\cos \alpha +\cos \beta$ 等问题时，常令 $\alpha =\frac{t+s}{2}$，$\beta =\frac{t-s}{2}$，利用和差化积公式（教材选学内容，但思想重要）。

更简单的整体代换：已知 $\sin (x+\frac{\pi }{6})=\frac{1}{3}$，求 $\cos (\frac{5\pi }{6}-x)$。注意到 $(x+\frac{\pi }{6})+(\frac{5\pi }{6}-x)=\pi$，所以 $\frac{5\pi }{6}-x=\pi -(x+\frac{\pi }{6})$，利用诱导公式即可求解。

【知识串联】

• 和差公式是倍角公式、半角公式的源头
• 辅助角公式是研究 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的基础
• 三角恒等变换在后续解三角形（必修二）中用于边角互化，如正弦定理、余弦定理的证明都需要这些公式

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5.6 函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$

【来龙去脉】从 $y=\sin x$ 到一般正弦型函数

$y=\sin x$ 是最基本的正弦函数。但在实际问题中，振动的振幅不一定是 $1$，频率不一定是 $1$，起始时刻也不一定从零开始。例如：

• 弹簧振子的位移 $x=A\sin (\omega t+\phi )$，其中 $A$ 是最大位移（振幅），$\omega$ 决定振动快慢，$\phi$ 决定初始位置
• 交流电电压 $U=U_m\sin (\omega t+\phi )$

因此，必须研究 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 中三个参数 $A,\omega ,\phi$ 的作用。

【基础精讲】

一、参数 $A,\omega ,\phi$ 的意义

参数	名称	意义	对图像的影响
$A$	振幅	$|A|$ 是最大值与最小值的差的一半	纵向伸缩：$y$ 值变为原来的 $A$ 倍
$\omega$	角频率	决定周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$	横向伸缩：周期变为原来的 $\frac{1}{|\omega |}$ 倍
$\phi$	初相位	$x=0$ 时的相位	左右平移：图像沿 $x$ 轴平移 $\frac{\phi }{\omega }$ 个单位
$\omega x+\phi$	相位	反映振动进行的状态	整体变量的代换
$\frac{\phi }{\omega }$	—	—	当 $\omega >0$ 时，决定左右平移量

值域：$[-|A|,|A|]$（当 $A>0$ 时为 $[-A,A]$）

周期：$T=\frac{2\pi }{|\omega |}$

频率：$f=\frac{1}{T}=\frac{|\omega |}{2\pi }$

二、图像变换的规则

从 $y=\sin x$ 到 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的变换有两种路径：

路径一：先平移后伸缩

1. $y=\sin x$ $\stackrel{\text{向左平移 }\phi \text{ 个单位}}{\to }$ $y=\sin (x+\phi )$
2. $\stackrel{\text{横坐标变为原来的 }\frac{1}{\omega }\text{ 倍}}{\to }$ $y=\sin (\omega x+\phi )$
3. $\stackrel{\text{纵坐标变为原来的 }A\text{ 倍}}{\to }$ $y=A\sin (\omega x+\phi )$

路径二：先伸缩后平移

1. $y=\sin x$ $\stackrel{\text{横坐标变为原来的 }\frac{1}{\omega }\text{ 倍}}{\to }$ $y=\sin (\omega x)$
2. $\stackrel{\text{向左平移 }\frac{\phi }{\omega }\text{ 个单位}}{\to }$ $y=\sin \left(\omega (x+\frac{\phi }{\omega })\right)=\sin (\omega x+\phi )$
3. $\stackrel{\text{纵坐标变为原来的 }A\text{ 倍}}{\to }$ $y=A\sin (\omega x+\phi )$

关键区别：先伸缩后平移时，平移量是 $\frac{\phi }{\omega }$ 而不是 $\phi$！

三、五点作图法（对于 $y=A\sin (\omega x+\phi )$）

令 $t=\omega x+\phi$，则 $x=\frac{t-\phi }{\omega }$。

$t=\omega x+\phi$	$0$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
$x$	$-\frac{\phi }{\omega }$	$\frac{\frac{\pi }{2}-\phi }{\omega }$	$\frac{\pi -\phi }{\omega }$	$\frac{\frac{3\pi }{2}-\phi }{\omega }$	$\frac{2\pi -\phi }{\omega }$
$y$	$0$	$A$	$0$	$-A$	$0$

【深度理解】每个参数的物理意义

以简谐振动 $x=A\sin (\omega t+\phi )$ 为例：

• 振幅 $A$：振子离开平衡位置的最大距离。$A$ 越大，振动越"剧烈"。
• 角频率 $\omega$：$\omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}$。$\omega$ 越大，周期 $T$ 越小，振动越快。
• 初相位 $\phi$：$t=0$ 时的相位，决定振子的初始位置。$x(0)=A\sin \phi$。

相位 $\omega t+\phi$ 的物理意义：相位 $\omega t+\phi$ 对应于单位圆上的旋转角度，决定振子在时刻 $t$ 的振动状态。相位每增加 $2\pi$，振动完成一个完整周期。

【易错警示】图像变换顺序（先平移后伸缩 vs 先伸缩后平移）

这是本章最大的易错点之一！

例题：为了得到 $y=\sin (2x+\frac{\pi }{3})$ 的图像，只需将 $y=\sin x$ 的图像如何变换？

错误答案：先向左平移 $\frac{\pi }{3}$，再将横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$。

错误原因：如果先平移 $\frac{\pi }{3}$，得到 $y=\sin (x+\frac{\pi }{3})$；再缩短横坐标，得到 $y=\sin (2x+\frac{\pi }{3})$。这其实是正确的（路径一）！

但是！如果题目问"先伸缩后平移"：

1. 先将 $y=\sin x$ 横坐标缩短为 $\frac{1}{2}$，得 $y=\sin 2x$
2. 再向左平移 $\frac{\pi }{3}$，得 $y=\sin (2(x+\frac{\pi }{3}))=\sin (2x+\frac{2\pi }{3})$ ❌

正确答案：先缩短为 $\frac{1}{2}$，再向左平移 $\frac{\pi }{6}$，因为 $\frac{\frac{\pi }{3}}{2}=\frac{\pi }{6}$。

记忆口诀："平移只对 $x$ 说话"——变换的是 $x$ 本身，不是 $\omega x$ 整体。若对 $\omega x$ 加了 $\phi$，则对 $x$ 而言只加了 $\frac{\phi }{\omega }$。

【思想方法】整体代换——令 $t=\omega x+\phi$

这是研究 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的核心思想方法。

令 $t=\omega x+\phi$，则函数变为 $y=A\sin t$。

好处：

• 求单调区间：先求 $y=\sin t$ 的单调区间，再解不等式得到 $x$ 的范围
• 求最值：$t$ 取 $\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 时 $y$ 取最大值 $A$
• 求对称轴：$t=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 时是对称轴，即 $\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$

本质：把"复合函数"的问题化归为"基本函数"的问题，体现了化归思想。

【隐性考点】由图像确定 $A,\omega ,\phi$

确定 $A$：看最高点与最低点的纵坐标，$A=\frac{y_{max}-y_{min}}{2}$（若图像有上下平移，还需考虑竖直平移量）。

确定 $\omega$：看周期。量出两个相邻最高点（或最低点、零点）之间的水平距离 $d$，则 $T=d$，$\omega =\frac{2\pi }{T}$。

确定 $\phi$：找一个已知点代入。通常选择"第一个上升零点"（即函数从负变正经过的零点），此时 $\omega x+\phi =0$。

例如：图像过点 $(-\frac{\pi }{6},0)$ 且在该点附近单调递增，则 $\omega \cdot (-\frac{\pi }{6})+\phi =0$，可解出 $\phi$。

【知识串联】

• $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 是本章知识的"集大成者"，综合了定义、图像、性质、变换等全部内容
• 物理中的简谐振动、机械波、交流电都用此函数描述，是数学与物理的桥梁
• 后续解三角形中求三角形的面积 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 中的 $\sin C$ 就是本章三角函数的直接应用

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5.7 三角函数的应用

【来龙去脉】数学建模——从实际问题到三角函数

三角函数之所以重要，不仅因为它是数学知识体系中的一环，更因为它能描述自然界和人类社会中大量存在的周期现象。本章前几节建立了三角函数的理论框架，本节则是将理论应用于实际问题的"出口"。

常见的周期现象：

• 昼夜交替、四季轮回（地球自转与公转）
• 潮汐涨落（月球引力作用）
• 简谐振动（弹簧、单摆、音叉）
• 交流电（发电机线圈转动）
• 生物钟、经济周期等

这些现象的共同特征是周而复始，而三角函数是最简洁的周期函数模型。

【基础精讲】

一、建立三角函数模型的步骤

第一步：审题，识别周期现象 判断问题是否涉及"重复出现"的规律，确定一个完整的周期是什么。

第二步：确定函数形式 一般设为 $y=A\sin (\omega x+\phi )+k$ 或 $y=A\cos (\omega x+\phi )+k$。

• 若从"平衡点"开始变化（如从平衡位置释放的弹簧振子），用正弦
• 若从"最大/最小值"开始变化（如从最高点开始的摆动），用余弦

第三步：求参数 $A,\omega ,\phi ,k$

参数	求法	说明
$A$（振幅）	$A=\frac{y_{max}-y_{min}}{2}$	最大值与最小值之差的一半
$k$（竖直平移/平衡位置）	$k=\frac{y_{max}+y_{min}}{2}$	平均值，即平衡位置
$T$（周期）	从题意或数据中读出	完成一次完整振动所需时间
$\omega$	$\omega =\frac{2\pi }{T}$	角频率
$\phi$	代入已知点求解	初相位，决定初始状态

第四步：验证并应用模型 将求得的函数与实际数据进行比对，验证模型的合理性，然后用于预测或分析。

二、典型问题类型

类型一：已知最值和周期，求解析式

例：某地一年中最高气温为 $35°C$，最低气温为 $-5°C$，大约在夏季的第 $30$ 天达到最高，冬季的第 $210$ 天达到最低。用正弦型函数描述气温变化。

解：设 $y=A\sin (\omega t+\phi )+k$

• $A=\frac{35-(-5)}{2}=20$，$k=\frac{35+(-5)}{2}=15$
• 周期 $T=365$（天），$\omega =\frac{2\pi }{365}$
• 当 $t=30$ 时达到最大值，所以 $\omega \cdot 30+\phi =\frac{\pi }{2}$
• 解得 $\phi =\frac{\pi }{2}-\frac{60\pi }{365}=\frac{365\pi -120\pi }{730}=\frac{245\pi }{730}=\frac{49\pi }{146}$

类型二：已知部分数据，拟合三角函数

给出若干时刻的观测值，要求建立模型。这种情况下，先根据最大值、最小值确定 $A$ 和 $k$，再根据相邻峰值间隔确定 $\omega$，最后用特殊点定 $\phi$。

类型三：利用三角函数模型进行预测

例如已知某港口水深 $y$（米）与时间 $t$（时）的关系为 $y=3\sin \frac{\pi }{6}t+5$（$0\le t\le 24$），求船只进港的最佳时间（要求水深不小于 $6.5$ 米）。

解：$3\sin \frac{\pi }{6}t+5\ge 6.5$ $\Rightarrow$ $\sin \frac{\pi }{6}t\ge \frac{1}{2}$

解得 $\frac{\pi }{6}\le \frac{\pi }{6}t\le \frac{5\pi }{6}$ 或 $\frac{\pi }{6}t\in [\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi ]$

即 $t\in [1,5]$ 或 $t\in [13,17]$（结合 $0\le t\le 24$）。

【深度理解】为什么是"正弦"而不是其他函数？

简谐振动的位移-时间关系为什么是正弦函数？这并非人为选择，而是物理规律的必然结果。

弹簧振子的运动方程（由牛顿第二定律和胡克定律）：

$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx$$

这个二阶常微分方程的通解恰好是：

$$x=A\sin (\omega t+\phi )\text{其中}\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$$

也就是说，只要恢复力与位移成正比且反向（线性恢复力），运动就一定是简谐振动，其位移-时间关系为正弦型函数。正弦函数在描述周期现象中具有普适性——它描述的是最简化的线性振动。

【思想方法】数学建模的流程

$$\text{实际问题}\stackrel{\text{抽象}}{\to }\text{数学问题}\stackrel{\text{求解}}{\to }\text{数学结果}\stackrel{\text{解释}}{\to }\text{实际结论}$$

在三角函数建模中，关键是"抽象"这一步——把文字描述转化为 $A,T,\phi$ 等参数。

【易错警示】

1. 单位统一：如果题目中角度用度、时间用小时，计算 $\omega$ 时务必注意与弧度制的转换。在 $y=A\sin (\omega t+\phi )$ 中，$\omega t+\phi$ 必须是弧度。

2. $\phi$ 的范围不唯一：初相位 $\phi$ 可以有多个解，通常取 $\phi \in [0,2\pi )$ 或 $\phi \in (-\pi ,\pi ]$，具体看题目要求。

3. 忽略实际限制：例如一天只有 $24$ 小时，解出 $t$ 后要在 $[0,24]$ 内取舍。

【知识串联】

• 三角函数的应用体现了"数学来源于生活又服务于生活"
• 建模思想在后续的统计学（拟合数据）、数列（增长模型）中都会用到
• 交流电的 $i=I_m\sin (\omega t+\phi )$ 是物理电磁学的基础，数学上正是本章的直接应用

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本章总结与思想方法提炼

一、知识网络图

任意角的推广
    ↓
弧度制（角的实数化）
    ↓
单位圆定义（sin α = y, cos α = x）
    ↓
    ├─→ 同角关系（sin²α + cos²α = 1）
    ├─→ 诱导公式（对称性）
    ├─→ 图像与性质（周期性、单调性、最值）
    ├─→ 恒等变换（和差倍辅）
    └─→ y = A sin(ωx + φ)（图像变换）
              ↓
         实际应用（建模）

二、核心思想方法回顾

1. 数形结合

• 单位圆：将抽象的"角"转化为具体的"点坐标"
• 三角函数线：将"函数值"转化为"有向线段"
• 函数图像：将"代数不等式"转化为"图形高低关系"

2. 转化化归

• 化同名：正切化弦、辅助角合一
• 化同角：倍角、降幂、诱导公式
• 化同次：降幂公式消除高次项
• 化标准形：$a\sin x+b\cos x\to \sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$

3. 整体代换

• 令 $t=\omega x+\phi$，将复合函数化归为基本函数
• 令 $u=\sin x$（或 $\cos x$），将三角问题化归为代数问题

4. 函数与方程

• 已知三角函数值求角（解三角方程）
• 三角函数零点、最值问题的方程思想

5. 分类讨论

• 象限不确定时，三角函数值的符号讨论
• 含参数问题中参数范围的分类讨论
• 正切定义域的限制导致的"断点"分析

三、本章公式体系速查

同角关系：

• ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$
• $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

诱导公式（核心规律：对称决定符号与函数名）：

• 周期类：$\pm 2k\pi$
• 对称类：$\pi \pm \alpha$（关于原点/ $y$ 轴）
• 互余类：$\frac{\pi }{2}\pm \alpha$（正余互换）

和差角公式：

• $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
• $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
• $\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$

倍角公式：

• $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$
• $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$

降幂公式：

• ${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$
• ${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$

辅助角公式：

• $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$，其中 $\tan \phi =\frac{b}{a}$（$a>0$）

$y=A\sin (\omega x+\phi )$：

• 振幅：$A$，周期：$T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，频率：$f=\frac{|\omega |}{2\pi }$
• 相位：$\omega x+\phi$，初相：$\phi$
• 值域：$[-|A|,|A|]$

四、与后续课程的联系

后续内容	与本章的联系
必修第二册：解三角形	正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$、余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 直接用到三角函数的定义和恒等变换
必修第二册：平面向量	向量的数量积 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$ 中的 $\cos \theta$ 就是三角函数
选择性必修：空间向量与立体几何	空间角的计算、法向量夹角都需要三角函数
选择性必修：数列	某些递推数列（如线性递推）的通项可用三角函数表示
选择性必修：导数	$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$、$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ 是基本求导公式，仅在弧度制下成立
选择性必修：复数	欧拉公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ 是三角函数与指数函数的深刻统一

教研员寄语：三角函数是高中数学中综合性较强的章节之一——它连接了几何（单位圆）、代数（恒等变换）、物理（简谐振动）、工程（信号处理）。学好三角函数，不仅是掌握一套公式，更是理解**"周期"这一自然界最基本规律之一**的数学表达。正弦函数 $y=\sin x$ 的图像是等速圆周运动在直线上的投影，广泛应用于描述地球旋转、机械振动、声波传播等周期性现象。

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本笔记由资深教研员整理，适合高一新课预习、同步巩固及高三一轮复习使用。建议学习策略：先通读【来龙去脉】建立动机，再精读【基础精讲】夯实概念，最后深入研究【深度理解】和【隐性考点】提升能力。